Espinores y grupo de espín

Me parece que los espinores (pinores) se definen vagamente como representaciones del grupo de espín (pin) S pag i norte ( pag , q ) ( PAG i norte ( pag , q ) ), que cubre por partida doble el grupo de simetría del espacio-tiempo S O ( pag , q ) ( O ( pag , q ) ). γ matrices es una representación matricial del álgebra de Clifford que genera el grupo de espín (pin), y los espinores son vectores que se transforman bajo la representación matricial del grupo de espín (pin) construido a partir de γ matrices. Aunque tengo dos preguntas.

  1. Uno de los propósitos principales del uso de espinores es el grupo de espín, S pag i norte ( 3 , 1 ) para Minkowski el espacio está simplemente conectado en oposición a S O ( 3 , 1 ) , por lo que una representación proyectiva de S O ( 3 , 1 ) puede ser promovido a una representación no proyectiva de S pag i norte ( 3 , 1 ) , ver QFT de Weinberg. Sin embargo, no todos los grupos de espín están simplemente conectados y depende de la dimensión del espacio-tiempo y la firma. Me pregunto cuál es la motivación física de considerar espinores en ese caso.

  2. γ matrices para la dimensión impar del espacio-tiempo no es una representación matricial fiel del álgebra de Clifford. ¿Es fiel la representación del grupo de spin en este caso? Si no, ¿hay alguna representación fiel del grupo de giro (quizás un mejor candidato para el nombre de espinor)?

Respuestas (1)

  1. el grupo de giro S pag i norte ( pag , q ) ≅ S pag i norte ( q , pag ) esta conectado si máximo ( pag , q ) ≥ 2 . Si excluimos múltiples dimensiones temporales , es decir, si consideramos solo firmas minkowskianas y euclidianas, entonces el componente de S pag i norte ( pag , q ) que está conectado a la identidad está simplemente conectado; excepto en los casos 2+0D y 2+1D donde el grupo fundamental es π 1 ≅ Z . Se necesitan espinores para describir los fermiones de Dirac , que tienen medio espín. Por lo tanto, si una representación spinor resulta ser proyectiva , parece que tendremos que vivir con eso.

  2. Para la segunda pregunta de OP, consideremos por simplicidad la complejidad. Entonces la firma es irrelevante. Para dimensión de espacio-tiempo par (resp. impar) d , el álgebra de Clifford completa (resp. incluso) C yo ( d , C ) (resp. C yo ( d , C ) mi v mi norte ) está fielmente representado por espinores. Dado que el grupo de giro S pag i norte ( d , C ) ⊆ C yo ( d , C ) mi v mi norte , también está fielmente representado.

¡Gracias por la respuesta!
Sin embargo, para dimensiones impares, los grupos de pines no están representados fielmente por γ matrices. ¿Importa para la simetría discreta?
"Por lo tanto, si una representación de spinor resulta ser proyectiva, parece que tendremos que vivir con eso". --> ¿Qué trata de abordar esta oración? ¿Podrías reformular esto? ¡gracias!
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