¿Es obvio que el observable hamiltoniano en mecánica cuántica debería ser también el observable de energía?

El hecho de que la energía actúe como generadora de las traslaciones del tiempo es un postulado fundamental de la teoría.

Para empezar, ni siquiera podrías definir$H$ ser $i\hbar \partial_t$porque$H$debe actuar sobre el espacio de Hilbert$\mathcal{H}$mientras que el primer operador actúa sobre curvas definidas en el espacio de Hilbert, es decir, mapea$t \mapsto |\psi(t)\rangle$.

El hecho de que$i\hbar \partial_t |\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle$es un postulado en el que dices "Quiero que la energía funcione como debe - el generador de las traducciones del tiempo".

Así que quedan dos preguntas: (i) por qué es eso razonable y (ii) qué es$H$¿al final?

En cuanto a (i), esta es la mejor suposición que puede tener, debido a experiencias previas con Mecánica Clásica. En Mecánica clásica, a medida que reformula la teoría desde el punto de vista hamiltoniano, descubre que la energía puede caracterizarse completamente como generadora de traslaciones de tiempo.

Sabiendo esto, trasladas esto a QM ya la Relatividad también. Es posible que esté acostumbrado a la definición en relatividad de que, dado el cuatro impulso$p^\mu$en un cierto marco, la energía de la partícula se define como$E = p^0$. Esto es exactamente decir que genera traducciones de tiempo.

En QM esto toma la forma del postulado de la ecuación de Schrödinger: la energía generará la evolución en el tiempo, de modo que actuando sobre una curva$|\psi(t)\rangle$de estados con$i\hbar \partial_t$y computación en$t$debe coincidir con actuar sobre el ket$|\psi(t)\rangle$para cada fijo$t$.

Ahora vayamos a (ii). donde consigues$H$¿de? De la discusión anterior,$H$debe ser simplemente el operador caracterizando la energía del sistema. De los postulados de QM hay para cada cantidad física un observable. La energía es una cantidad física y obtiene su observable. es lo que$H$es.

Para sistemas con contrapartes clásicas, es decir, sistemas cuantificados, obtienes$H$escribiendo primero el clásico $H$que conoces de la Mecánica Clásica, y luego hacerlo cuántico al reemplazar las variables clásicas por sus contrapartes observables cuánticas.

Lo tradicional$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}+V(\mathbf{r})$El hamiltoniano debería estar familiarizado con la mecánica clásica. Ahora el impulso se convierte en la formulación cuántica en el observable$P$y la posición se convierte en lo observable$\mathbf{R}$, entonces tu hamiltoniano cuántico es$H = \frac{\mathbf{P}^2}{2m}+V(\mathbf{R})$.

Para otros sistemas, debe saber qué energía es para ese sistema en particular. Una vez que conoce la expresión correcta, tiene el hamiltoniano y actuará como debería, generando traslaciones de tiempo.