Representaciones de un grupo

Griffiths está utilizando un lenguaje común entre los expertos pero confuso para los principiantes. Cuando dice, por ejemplo, que un cuadrivector “pertenece a” la representación cuadridimensional del grupo de Lorentz, no quiere decir que el cuadrivector sea miembro de la representación misma; quiere decir que el cuadrivector es un miembro del espacio de representación , el espacio vectorial sobre el que actúa la representación.

Una representación lineal asigna cada elemento del grupo a una transformación lineal en algún espacio vectorial. Cada una de estas transformaciones se puede representar de alguna manera mediante una matriz. Una representación en cuatro dimensiones del grupo de Lorentz asigna las transformaciones de Lorentz a$4\times 4$matrices de la manera obvia. Estas matrices actúan sobre cuatro vectores, transformándolos. El conjunto de todos los cuatro vectores posibles es el espacio de representación de cuatro dimensiones.

Por cierto, hay representaciones menos obvias que asignan transformaciones de Lorentz a transformaciones lineales de espacios vectoriales que no son de cuatro dimensiones y, por lo tanto, a matrices que no son$4\times 4$. Por ejemplo, cuatro tensores simétricos sin rastro con dos índices forman un espacio de representación de 9 dimensiones.

Los escalares, los vectores , etc. se definen con respecto a una operación de grupo (aquí,$SO(3)$) y la dimensionalidad de la representación en algunos casos es suficiente para identificar la representación misma.

Es posible tener representaciones de$SO(3)$de dimensión$2L+1$. Puedes simplemente tomar los estados con momento angular$L$como establece la base para el espacio portador. Si la dimensión es$1$( es decir $L=0$) se habla de un escalar (bajo este grupo).

La representación en este contexto correspondería a un mapa de operadores abstractos a$(2L+1)\times (2L+1)$matrices que actúan sobre el espacio portador. Los estados básicos se transforman o transmiten una representación, en lugar de ser una representación en sí mismos.

El ejemplo obvio sería la representación por matrices cuadradas de tamaño$(2L+1)$de los operadores de momento angular$L_{x,y,z}$, que suelen encontrarse como un ejercicio elemental de mecánica cuántica básica.