¿Qué es "un vector de SO(n)SO(n)SO(n)"?

La ecuación que diste es de hecho la definición de multiplicación de matrices, aplicada a un$d\times d$matriz y una$d\times 1$matriz. Pero el concepto subyacente es algo más.

Lo que pasa con los vectores es que existen, en cierto sentido, independientemente de los números utilizados para representarlos. Por ejemplo, un vector de desplazamiento 3D ordinario representa una longitud física y una dirección física. Estas cosas no son números, son ideas abstractas. Solo obtiene los números cuando elige un sistema de coordenadas y luego compara el vector con los ejes de coordenadas. Diferentes sistemas de coordenadas te darán diferentes conjuntos de números para el mismo vector.

Dos sistemas de coordenadas se pueden relacionar mediante transformaciones, como la rotación y la reflexión. En otras palabras, dado el sistema de coordenadas A, puedes identificar alguna transformación que lo convierta en el sistema de coordenadas B, y puedes llegar a un$d\times d$matriz,$R_{d\times d}$, que representa esa transformación. Lo que hace que un vector sea un vector es que los números que describen el vector en el sistema de coordenadas A y los números que describen el vector en el sistema de coordenadas B están relacionados por la misma matriz.

El grupo de todas las transformaciones posibles tiene algún nombre. Por ejemplo,$SO(3)$es el grupo de todas las rotaciones en el espacio 3D. En consecuencia, todo lo que se comporta como un vector (es decir, sigue la ecuación 1) cuando gira el sistema de coordenadas 3D se denomina vector de$SO(3)$, o un$SO(3)$vector.

En caso de que esto parezca obvio, déjame señalar que hay conjuntos de cantidades que no se comportan de esta manera, especialmente cuando empiezas a hablar de otros tipos de transformaciones además de las rotaciones 3D. Por ejemplo, todas las transformaciones de Lorentz posibles, incluidas las rotaciones y los aumentos, forman el grupo$SO(3,1)$. La energía y el momento (de una sola partícula) forman un vector de$SO(3,1)$, porque cambian de acuerdo con la ecuación (1) (con$R_{d\times d}$siendo una matriz de transformación de Lorentz) cuando cambia los marcos de referencia. Pero el campo electromagnético no. En realidad necesitas dos factores de$R_{d\times d}$para tener en cuenta cómo cambian los campos EM entre marcos de referencia. Eso hace que el campo EM sea un tensor de rango 2 de$SO(3,1)$.

También lo remito a esta pregunta mía sobre Matemáticas sobre el significado de un "espacio vectorial físico", que toca la diferencia entre un vector matemático y un vector físico. Sólo este último está sujeto al requisito de la ecuación (1).

Sí, definió que el vector se comporta de esa manera (una rotación de vector equivale a un cambio de base), de lo contrario no sería un vector. Un tensor es un tipo diferente de objeto, tiene al menos dos índices y se comporta de manera diferente que un vector bajo transformación de coordenadas (como se define en su libro). Probablemente leas más sobre álgebra lineal hasta tensores antes de leer un libro de física (te hará la vida más fácil), porque en física las introducen como si fueran cosas obvias, pero son conceptos matemáticos bastante bien definidos. En el extremo opuesto está un escalar, que no cambia bajo una transformación de coordenadas.

En el contexto de, por ejemplo, un grupo de Lie pseudo-ortogonal

de matrices pseudo-ortogonales$\Lambda$para la métrica

un "vector de$O(p,q)$"es un elemento de la$n$-representación vectorial dimensional (también conocida como representación definitoria o representación fundamental) de$O(p,q)$.

Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.