Terminología sobre la representación tensorial de un grupo

Esto podría ser extremadamente trivial, pero necesito estar seguro de que no estoy equivocado. Me encuentro muchas veces con declaraciones donde el autor dice

"Los tensores son ejemplos de representaciones para el grupo de Lorentz". (Una introducción moderna a la teoría cuántica de campos, Michele Maggiore. Página 20).

Me queda claro que si considero por ejemplo S O ( 3 ) , o S O ( 3 , 1 ) Puedo pensar en actuar sus transformaciones en escalares, vectores o tensores de eventos y encontrar las representaciones relacionadas. Entonces, ¿la oración anterior no es un abuso de notación? Creo que debería decir que una representación tensorial del grupo de Lorentz es una representación que actúa sobre tensores, ¿es correcto?

Encontré un problema similar en un contexto más físico. con la declaración

" d Los estados propios degenerados proporcionan una representación irreducible de dimensión d para el grupo GRAMO ". (Teoría de grupos en pocas palabras para físicos, A. Zee. Página 163).

Aquí está el contexto. dado un hamiltoniano H y su grupo de simetría GRAMO , entonces H es invariante bajo las transformaciones T de GRAMO

H = T − 1 H T → H T = T H
considerando el problema de valores propios
H ψ = mi ψ
H ( T ψ ) = T H ψ = mi ( T ψ )
para que podamos ver eso T no mezcla estados de diferentes espacios propios, y los espacios propios son como subespacios invariantes del espacio de Hilbert desde el punto de vista de T . Usando una base adecuada para el espacio de Hilbert, puedo mostrar T tiene una forma diagonal de bloque y por lo tanto es reducible. pero considerando H solo en un espacio propio específico V mi entonces el hamiltoniano tiene la forma H = mi I y siguiendo el lema de Schur puedo decir que el bloque específico asociado a V mi de la representación reducible de T es una representación irreducible. ¿Es esto lo que se quiere decir con la afirmación anterior? Que una elección correcta de la base ψ en el espacio propio me muestra lo que es la representación irreducible?

Respuestas (1)

Una representación de un grupo. GRAMO es un par ( φ , V ) dónde V es un espacio vectorial y φ : GRAMO → GRAMO L ( V ) es un homomorfismo de grupo entre el grupo GRAMO y el conjunto de transformaciones lineales invertibles sobre V . A veces los autores llaman φ las representaciones y a veces los autores llaman V la representación.

Puedes decir que la primera forma está bien ya que φ transporta información sobre el espacio sobre el que actúa. En cambio la segunda es, como bien apuntas, un abuso de terminología. Sin embargo, a menudo (¡no siempre!) una vez V es fijo, solo hay una opción para φ , así que está bien.

Para tensores, V es el producto tensorial de R norte r a norte k tiempos y φ es el único homomorfismo que hace GRAMO actúa sobre los tensores de la forma habitual que conocemos.

Para el ejemplo hamiltoniano que presentaste, V es el espacio propio de la energía mi y φ es algún operador unitario restringido a V , tu | V , que actúa sobre los estados y conmuta con el hamiltoniano. Precisamente porque conmuta con él, nunca salimos del espacio propio, por lo que el operador tu se puede restringir a GRAMO L ( V ) .

Por cierto, estás usando el lema de Schur al revés. Dice que si [ H , tu | V ] = 0 y la representación es irreducible, entonces H ∝ 1 (cual es verdad). No al revés. Eso significa que ( tu | V , V ) todavía puede ser una representación reducible si hay subespacios invariantes. Por ejemplo, suponga que su hamiltoniano tiene energías degeneradas para estados con el mismo espín total j = S + L . Entonces, si observamos los espacios propios de energía y solo nos preocupamos por el espín S , y no j , podemos encontrar una suma directa de representaciones de espín allí.

Entonces es en ambos casos la misma situación, solo identifico el homomorfismo de representación con el espacio sobre el que actúan las matrices del grupo lineal general. Muchas gracias por la respuesta y por la precisión sobre el lema de Schurl.
Yo no diría identificar. Es más una sinécdoque : te refieres a algo al referirte a una parte en lugar del todo.
Perfectamente claro, muchas gracias
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