¿Los espinores forman un espacio vectorial?

Sus notas suenan un poco confusas. Dice correctamente que el grupo SU(2) no es un espacio vectorial, pero parece pensar que eso significa que los vectores columna sobre los que actúa la matriz SU(2) no forman un espacio vectorial. Creo que podría estar pensando en la órbita que obtienes cuando eliges un espinor de inicio fijo.${\bf v}_0$y considere el conjunto que obtiene al actuar sobre él con todas las matrices SU(2) posibles. Este subconjunto de espinores (la órbita de${\bf v}_0$) no es un espacio vectorial, pero eso no significa que el conjunto de todos los espinores no sea un espacio vectorial.

Espero describir bien las cosas:

Aquí hay una cita suya en la monografía mencionada en OP From Spinors To Quantum Mechanics, p. 48-49:

De hecho, la estructura de grupo del grupo de rotación existe sin ninguna referencia a un vector de$\mathbf{R}^3$. Todo lo que la estructura del grupo realmente define es la tabla de multiplicar de los elementos del grupo. Tal tabla de multiplicar puede considerarse como la extrapolación a un grupo infinito$G$de lo que es una tabla de Cayley para un grupo finito. Considerar las rotaciones como elementos de un grupo introduce un verdadero cambio de paradigma: una rotación se considera como una función que actúa sobre otras rotaciones en lugar de vectores. (nota al pie 1) La acción de esta función en las otras rotaciones es simplemente una multiplicación por la izquierda con un elemento de grupo en el grupo abstracto, [...]

Ahora citando de la nota al pie 1

Los verdaderos objetos de estudio en la teoría de grupos no son los vectores sino los elementos de$F(\mathbf{R}^3, \mathbf{R}^3)$( el conjunto de todas las asignaciones de$\mathbf{R}^3$a sí mismo - mi comentario ), ya que los axiomas abstractos de un grupo niegan la ciudadanía a los vectores ignorándolos por completo y excluyéndolos de la formulación. La ley de composición que es objeto de estudio es la composición de funciones.

Ahora, lo que sucede aquí es que elimina la referencia a los vectores en$\mathbf{R}^3$en conjunto mediante el uso de la llamada representación de automorfismo de la (cobertura universal del) grupo de rotación (es decir$g_j\in\text{SU}(2) \mapsto f_g(g_j):= g\circ g_j$), y

Por lo tanto, los vectores de columna de 2 × 1, las matrices de 2 × 2 del trabajo de representación deben codificar rotaciones

Esta codificación en realidad significa que la suma de dos vectores de columna de 2 x 1 no codificará una rotación , por lo que concluye que los espinores no forman un espacio vectorial, sino la variedad del grupo de espín.$\text{SU(2)}$(o$\text{SL(2},\mathbb{C})$para los espinores lorenzianos).

Aquí está su página maestra 51, que describe la construcción completa para las rotaciones espaciales.

Esta es básicamente una nueva teoría de los espinores por completo. El hecho de que los espinores sean directamente elementos de grupos de espín es un enfoque novedoso del estándar en la literatura QM/QFT, en el que los espinores son elementos del espacio vectorial topológico que llevan una representación continua del grupo universal de rotación de cobertura en el espacio euclidiano/Minkowski. (tiempo). La visión de Coddens es una propuesta en el espíritu de Cartan, en la que la geometría es primordial y pretende ofrecer una alternativa al enfoque de Penrose/Rindler sobre los espinores. La visión tradicional de los espinores proviene de la teoría cuántica de campos (axiomática) y es, en esencia, analítica algebraica/funcional a través de las ideas originales de van der Waerden/Wigner/Bargmann.

Solo he echado un vistazo rápido al artículo de Coddens, pero si lo entiendo bien, lo que está haciendo es el equivalente a decir que el conjunto de vectores unitarios no son vectores, porque no forman un espacio vectorial. No puede 'sumar' dos vectores unitarios y obtener siempre otro vector unitario.

Menciona Hestenes y el álgebra geométrica en su introducción, que en mi opinión da una imagen geométrica mucho más clara e intuitiva de los espinores. (No tengo claro por qué rechaza esto). En álgebra geométrica, los espinores son solo subálgebras pares: las combinaciones lineales de todos los productos de un número par de vectores base. Dado que cada vector base representa una reflexión (orientada), los pares de vectores base representan rotaciones (es decir, pares de reflexiones).

En 2D, el álgebra geométrica consiste en combinaciones lineales de un escalar (1), dos vectores base (x e y) y un bivector que representa el plano (xy). El subálgebra par son las combinaciones lineales de$1, xy$dónde$(xy)^2=-1$. Los espinores 2D son, por lo tanto, solo los números complejos.

En 3D, el álgebra geométrica consta de un escalar (1), tres vectores base (x, y, z), tres bivectores que representan planos de coordenadas (yz, xz, xy) y un trivector (xyz) que representa el elemento de volumen orientado. El subálgebra par son las combinaciones lineales de$1, yz, xz, xy$dónde$(yz)^2=(xz)^2=(xy)^2=-1$. Los espinores 3D son, por lo tanto, solo los cuaterniones.

Si tenemos dos vectores genéricos$a$y$b$, entonces$ab=a\cdot b+a\wedge b=|a||b|(\textrm{cos }\theta+B \textrm{sin }\theta)$dónde$B$es el bivector unitario en el plano de$a$y$b$y$\theta$es el ángulo entre ellos. Si los vectores que se multiplican son paralelos, el resultado es un escalar puro, si son perpendiculares, el resultado es un bivector puro. El producto punto es familiar del álgebra vectorial y es solo la parte escalar del producto geométrico. El producto cuña es la parte bivectorial y es dual al producto cruzado del álgebra vectorial. (Tenemos que usar el dual para convertirlo en otro vector porque el álgebra vectorial no puede hacer frente a los bivectores. Sin embargo, esto no funciona perfectamente porque se transforma incorrectamente bajo los reflejos, es decir, el producto vectorial da un 'pseudovector', no un Los pseudovectores son en realidad bivectores.) Por lo tanto, ambos productos del álgebra vectorial se unifican en un solo producto en el álgebra geométrica y corresponden a encontrar los componentes 'real' e 'imaginario' de un espinor.

La representación compleja del vector columna de los espinores surge de observar que$xy$actúa como la unidad imaginaria$i$, entonces$\alpha(1)+\beta(xy)=\alpha+\beta i$y$\gamma(yz)+\delta(xz)=(\gamma+\delta(xy))(yz)=(\gamma+\delta i)(yz)$por lo que el cuaternión se puede codificar como dos coeficientes complejos de un espacio vectorial sobre la base$1, yz$.

En álgebra geométrica, los espinores implementan la rotación por conjugación. Para rotar un vector$v$por la rotación representada por el espinor$S$, encontramos$SvS^{-1}$. Si$S$tiene una norma diferente de 1, entonces$S^{-1}$tiene la norma recíproca, y se anulan. Esta es la razón por la que un múltiplo escalar (distinto de cero) de un espinor corresponde a la misma rotación, y por lo que podemos sumar espinores sin dar lugar a ningún problema. Comúnmente usamos espinores unitarios (llamados rotores) para representar rotaciones para que tengamos una representación inequívoca, como comúnmente usamos vectores unitarios para representar cosas como superficies normales, donde la longitud no importa. (Es decir, como un vector columna complejo, estos son 'unitarios' y se transforman como SU(2).) Pero usar espinores unitarios para representar rotaciones no significa que no sean elementos de un espacio vectorial más que usar los vectores unitarios sí. También es el caso de que el signo también se cancela, por lo que$-S$da la misma rotación que$S$, pero no es el mismo espinor.

Encuentro que geométricamente, la mejor manera de visualizar un espinor 3D es como el ángulo entre un par de planos de reflexión orientados. ('Orientado' significa que el plano tiene un frente y una parte posterior bien definidos). Si los planos son idénticos, los reflejos se cancelan y se obtiene la identidad. (es decir, con vectores paralelos obtenemos un escalar puro 1.) A medida que gira un plano con respecto al otro, el resultado es una rotación del doble del ángulo entre los planos, sobre el eje a lo largo del cual se cruzan los planos. Cuando el ángulo entre los planos alcanza los 180 grados, los planos son paralelos, pero con normales en direcciones opuestas. Nuevamente, los reflejos se cancelan, por lo que esto representa una rotación de 360 ​​grados, ¡pero este no es el mismo espinor! El ángulo de 180 grados significa que un plano es el negativo del otro. Si continúa girando los planos de reflexión, finalmente, un ángulo de 360 ​​grados entre los reflejos corresponde a una rotación de 720 grados, y volvemos a tener identidad. No es cierto que girar un espinor 360 grados dé el signo contrario, y tienes que girar 720 grados para volver al punto de partida. Lo que sucede es que al girar el espinor un ángulo aumenta larotación correspondiente por el doble del ángulo, por lo que girar un espinor 180 grados niega el espinor pero gira la rotación a la derecha, y girar el espinor 360 grados corresponde a una rotación de 720 grados. El espinor no es la rotación, es el ángulo entre el par de planos de reflexión (orientados) que lo componen.

Así que los espinores tienen una interpretación geométrica perfectamente comprensible.

Déjame continuar con la publicación de DanielC. La idea de que una matriz columna podría representar un elemento de grupo también se puede encontrar en cualquier representación regular de un grupo finito. Consideremos, por ejemplo, el grupo de permutaciones$S_{n}$. Podemos etiquetar arbitrariamente cada uno de los$n!$permutaciones$p_{j} \in S_{n}$con un numero$j \in [1,n!]\cap{\mathbb{N}}$. El orden que adquieren así los elementos del grupo no tiene importancia. Cualquier orden servirá. La representación regular viene dada entonces por$n! \times n!$matrices de representación y cada elemento del grupo$p_{j}$también está representado por un$n! \times 1$matriz${\mathbf{p}}^{(j)}$, cuyas entradas son$[\,{\mathbf{p}}^{(j)}\,]_{k} = \delta_{kj}$. Es decir, todas las entradas toman el valor$0$excepto el que está en línea$j$, que toma el valor$1$. La matriz cuadrada que representa un elemento de grupo$p_{j}$solo representaría$p_{j}$por el automorfismo de grupo:$T_{p_{j}}: q\in S_{n} \rightarrow T_{p_{j}}(q) = p_{j} \circ q \in S_{n}$. Podríamos llamar a la$n! \times 1$matrices de columna${\mathbf{p}}^{(j)}$"vectores de columna" y abarcarían un "espacio vectorial"$(V,{\mathbb{K}})$sobre algún campo numérico${\mathbb{K}}$eso podria ser${\mathbb{R}}$o${\mathbb{C}}$. El grupo$S_{n}$sería entonces un subconjunto discreto finito (de$n!$puntos) del espacio vectorial$(V,{\mathbb{K}}) = ({\mathbb{K}}^{n!},{\mathbb{K}})$. Constituiría una base ortonormal para$(V,{\mathbb{K}})$. Pero esto es solo una tontería superficial, porque en la representación una suma${\mathbf{p}} + {\mathbf{q}}$de dos tales$n! \times 1$matrices de columna${\mathbf{p}}$y${\mathbf{q}}$correspondería por isomorfismo a la suma de dos permutaciones como en la ecuación 1 de Symmetry, 13, 659 (2021).

Es muy obvio que esta operación simplemente no está definida, y lo mismo aplica para cualquier otra combinación lineal$\sum_{j=1}^{n!} c_{j} {\mathbf{p}}^{(j)}$, con$c_{j} \in {\mathbb{K}}, \forall j \in [1,n!] \cap{\mathbb{N}}$, que no pertenece a$S_{n}$. todos los puntos de${\mathbb{K}}^{n!}\backslash S_{n}$carecen a priori de sentido. Sólo una operación está definida por los axiomas de un grupo.

Es por la misma razón que en la relatividad general la variedad de espacio-tiempo curvada no debe considerarse como incrustada en un espacio vectorial, sino descrita intrínsecamente. Los puntos que tendrías que sumar para obtener una extensión en forma de espacio vectorial en el que podría incrustarse la variedad curva no existen físicamente. Ese espacio vectorial tendría que ser${\mathbb{R}}^{5}$, al igual que la superficie bidimensional de una esfera está incrustada en${\mathbb{R}}^{3}$. Los puntos de la extensión a${\mathbb{R}}^{5}$que no pertenecen al espacio-tiempo no tendría sentido físicamente.

Considere ahora el espacio vectorial complejo${\mathbb{C}}^{2}$y un punto general$(\zeta_{1},\zeta_{2}) \in {\mathbb{C}}^{2}$de eso Hasta que se haga algo al respecto, tal punto no tiene un significado físico obvio. Un primer paso consiste en señalar que los espinores$\psi = [\,\zeta_{1},\zeta_{2}\,]^{\top}$de SU(2), que se puede dar el significado de rotaciones alrededor del origen en${\mathbb{R}}^{3}$, pertenecen al conjunto${\mathscr{C}} = \{ (\zeta_{1},\zeta_{2})\parallel \zeta^{*}_{1}\zeta_{1} + \zeta^{*}_{2}\zeta_{2} = 1\} \subset {\mathbb{C}}^{2}$. Estos espinores son isometrías, es decir, elementos especiales del espacio vectorial$L({\mathbb{R}}^{3},{\mathbb{R}}^{3})$. Son operadores geométricos/físicos. Cada rotación corresponde a dos espinores que son idénticos hasta un factor$\pm 1$. Cada rotación define por lo tanto dos puntos de la variedad curva${\mathscr{C}}$, pero lo contrario también es cierto: cada par de puntos de${\mathscr{C}}$corresponde a una rotación, es decir, un par de espinores de SU(2), que es un doble recubrimiento de SO(3) debido a la existencia misma de estos dos posibles factores$\pm 1$. La forma más sencilla de probar esto es identificar$(\zeta_{1},\zeta_{2})$con la expresión para un espinor que corresponde a la rotación$R(\alpha,\beta,\gamma)$dónde$(\alpha,\beta,\gamma)$son sus ángulos de Euler, como por ejemplo dado por la primera columna de la matriz en eq. 1.2.29 del libro de J. Hladik. Por lo tanto${\mathscr{C}}\equiv$SU(2). Podemos considerar la variedad${\mathscr{C}}$como incrustado en${\mathbb{C}}^{2}$. En términos de números reales, el grupo de rotación, representado por${\mathscr{C}}$, es entonces una variedad tridimensional incrustada en el espacio vectorial de cuatro dimensiones${\mathbb{C}}^{2} \equiv {\mathbb{R}}^{4}$. La situación es completamente análoga a la del espacio-tiempo de cuatro dimensiones incrustado en${\mathbb{R}}^{5}$como se describió anteriormente.

Por tanto, es factible algebraicamente calcular combinaciones lineales$c_{1}\psi_{1} + c_{2}\psi_{2}$, dónde$(c_{1},c_{2}) \in {\mathbb{C}}^2$, o considerar elementos de${\mathbb{C}}^{2} \backslash {\mathscr{C}}$pero esto es puramente formal y a priori desprovisto de cualquier significado geométrico en términos de algún elemento de$L({\mathbb{R}}^{3},{\mathbb{R}}^{3})$, que es la incrustación natural del grupo de rotación SO(3)$\subset L({\mathbb{R}}^{3},{\mathbb{R}}^{3})$. ¿Qué otro tipo de incrustación de SO(3) podríamos imaginar para dar$(\zeta_{1},\zeta_{2}) \in {\mathbb{C}}^{2} \backslash {\mathscr{C}}$¿significado?

Este argumento es similar al hecho para$S_{n}$, pero esta vez el grupo es un grupo de Lie y, por lo tanto, ya no es un conjunto finito discreto sino una variedad diferenciable.

La pregunta es engañosa, porque debemos responder a la siguiente pregunta: "¿podemos hacer superposiciones de diferentes espinores del mismo rango?". Matemáticamente, sí, podemos, ¿por qué no?, es solo una cuestión de definición de un espacio de espinores, pero físicamente es posible que no, porque la energía de un sistema puede depender de la configuración de espín particular, por lo que diferentes espinores pertenecen a diferentes vectores propios de Hamilton. , y debemos hacer superposiciones de las funciones de onda totales dependientes del tiempo en lugar de solo sus partes espinosas, supongo.

H. Ohanian (Am. J. Phys. 54 (6) 1986) trató de dar un significado "clásico" al giro como un momento angular de un paquete de ondas de espinor. La parte más esencial de sus cálculos es desvanecer el paquete de ondas en las direcciones transversales. Pero este desvanecimiento es solo una descripción simplificada (matemática) de la influencia de la fuente de partículas y la materia circundante. Puedo decir con seguridad que el espín es una propiedad de una excitación elemental de un sistema complejo (mundo).