Confusión sobre la terminología de representación de grupos en física

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Confusión sobre la terminología de representación de grupos en física

Física
terminología
teoría de grupos
teoría de la representación

ummg

Fondo

Veo mucha terminología de representación de grupos confusa en la escritura de física. Aquí hay un ejemplo típico, tomado de Introducción a las partículas elementales de DJ Griffiths , hablando de combinaciones de sabores de quarks en bariones:

En cuanto al sabor, hay $3^3 = 27$ posibilidades: $uuu, uud, udu, udd, \dotsc, sss$ , que reorganizamos en combinaciones simétricas, antisimétricas y mixtas; forman representaciones irreductibles de $SU(3)$ , así como las combinaciones de espín análogas forman representaciones de $SU(2)$ .

punto de vista

Soy muy nuevo en la teoría de la representación, pero según tengo entendido, una representación es un homomorfismo. $\rho : G \to GL(V)$ de un grupo $G$ (de transformaciones) al grupo lineal general de un espacio vectorial $V$ . Por eso $V$ es donde los vectores de espín (o isospín, o sabor, etc.) "viven", mientras que la representación proporciona las matrices que transforman los elementos de $V$ . Ahora, algunas representaciones tienen un subespacio invariante (no trivial propiamente dicho) $V_1 \subset V$ , para cual $\rho(g)v \in V_1$ si $v \in V_1$ . Tal representación se llama reducible (o más exactamente descomponible o completamente reducible , creo) y puede ser diagonalizada en bloque,

ρ_{D} (gramo) = tu ρ (gramo) {tu}^{- 1} = (\begin{matrix} ρ_{1} (gramo) & 0 \\ 0 & ρ_{2} (gramo) \end{matrix}),

$\rho_D(g) = U \rho(g) U^{-1} = \begin{pmatrix} \rho_1(g) & 0 \\ 0 & \rho_2(g) \end{pmatrix},$ por alguna matriz invertible

U

$U$ . En otros términos,

ρ_{1}

$\rho_1$ y

ρ_{2}

$\rho_2$ son representaciones de

G

$G$ en

V_{1}

$V_1$ y

V_{2}

$V_2$ (dónde

V_{2} = V ∖ V_{1}

$V_2 = V \setminus V_1$ es también un subespacio invariante), respectivamente, y tenemos

V = V_{1} \oplus V_{2}

$V = V_1 \oplus V_2$ y

ρ_{D} = ρ_{1} \oplus ρ_{2}

$\rho_D = \rho_1 \oplus \rho_2$ . Una representación que no es reducible se llama representación irreducible .

Pregunta

Entonces, si lo anterior es correcto, ¿no es incorrecta la terminología citada? Griffiths dice que las combinaciones de sabores simétricos, antisimétricos y mixtos forman representaciones irreductibles de $SU(3)$ , pero tal como yo lo entiendo estas combinaciones ni siquiera son parte de la representación, sino elementos en un espacio vectorial sobre el cual actúa la representación. ¿No sería la afirmación correcta que estas combinaciones forman subespacios invariantes bajo $SU(3)$ , y que cada uno de esos subespacios invariantes se transforma de acuerdo con alguna representación irreducible de $SU(3)$ ?

Cosmas Zachos

La respuesta a su pregunta retórica final es, por supuesto, "sí". ¿Su instructor no le explicó que los físicos fusionan informalmente los espacios y subespacios vectoriales con las matrices y las matrices de bloques que actúan sobre ellos al caracterizar a ambos como representaciones?

ummg

@CosmasZachos Bueno, yo no lo llamaría una pregunta retórica. Más bien algo de lo que estaba casi seguro, pero para lo cual quería la confirmación de alguien más familiarizado con el tema, para poder descansar de mis preocupaciones. Pero ahora con tu respuesta me siento muy seguro, ¡así que gracias! Desafortunadamente, esto se pasó por alto con bastante rapidez en las conferencias, y la poca comprensión que tengo de la teoría de la representación, tuve que leer al margen.

ummg

@CosmasZachos Si publica (alguna variación de) su comentario como respuesta, lo marcaré como aceptado. Si no, a su debido tiempo, podría escribir una respuesta yo mismo, citando su comentario según las recomendaciones aquí .

Cosmas Zachos

Creo que eso es lo mejor (te lo explicas a ti mismo); si todavía te intriga como algo más allá de un malentendido de uso...

Andrés

Solo para agregar que tuve exactamente la misma confusión cuando estaba aprendiendo este material y nadie me dijo abiertamente que los físicos usan la palabra "representación" de una manera perezosa. Su declaración final en su pregunta (que termina con un signo de interrogación) es correcta. (Como he descubierto a menudo que es el caso... en última instancia, la forma física de hablar de las cosas es muy conveniente y eficiente porque se enfoca en lo que es importante para la física, pero puede dificultar el aprendizaje porque no es preciso)

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/41424/2451

Respuestas (1)

Confusión sobre la terminología de representación de grupos en física

La respuesta a su pregunta retórica final es, por supuesto, "sí". ¿Su instructor no le explicó que los físicos fusionan informalmente los espacios y subespacios vectoriales con las matrices y las matrices de bloques que actúan sobre ellos al caracterizar a ambos como representaciones?
@CosmasZachos Bueno, yo no lo llamaría una pregunta retórica. Más bien algo de lo que estaba casi seguro, pero para lo cual quería la confirmación de alguien más familiarizado con el tema, para poder descansar de mis preocupaciones. Pero ahora con tu respuesta me siento muy seguro, ¡así que gracias! Desafortunadamente, esto se pasó por alto con bastante rapidez en las conferencias, y la poca comprensión que tengo de la teoría de la representación, tuve que leer al margen.
@CosmasZachos Si publica (alguna variación de) su comentario como respuesta, lo marcaré como aceptado. Si no, a su debido tiempo, podría escribir una respuesta yo mismo, citando su comentario según las recomendaciones aquí .
Creo que eso es lo mejor (te lo explicas a ti mismo); si todavía te intriga como algo más allá de un malentendido de uso...
Solo para agregar que tuve exactamente la misma confusión cuando estaba aprendiendo este material y nadie me dijo abiertamente que los físicos usan la palabra "representación" de una manera perezosa. Su declaración final en su pregunta (que termina con un signo de interrogación) es correcta. (Como he descubierto a menudo que es el caso... en última instancia, la forma física de hablar de las cosas es muy conveniente y eficiente porque se enfoca en lo que es importante para la física, pero puede dificultar el aprendizaje porque no es preciso)

ummg · Answer 1

Como dijo el comentarista Cosmas Zachos

Los físicos fusionan de manera informal los espacios y subespacios vectoriales con las matrices y las matrices de bloques que actúan sobre ellas al caracterizar a ambos como representaciones.

y, como lo respalda el comentarista Andrew, la declaración final en mi pregunta es correcta. Es decir,

combinaciones de sabores simétricos, antisimétricos y mixtos forman subespacios invariantes bajo $SU(3)$ , y que cada uno de esos subespacios invariantes se transforma de acuerdo con alguna representación irreducible de $SU(3)$

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