¿Qué significa "llevar una representación" (en álgebra SUSY)?

La gente básicamente ha explicado los detalles, pero permítanme intentar formularlo en un lenguaje más familiar para un matemático. Ignoraré las sutilezas que entran para las superálgebras de Lie más generales.

Dejar$\mathfrak g$sea ​​una superálgebra de Lie con la$\mathbb Z_2$calificación$\mathfrak g = \mathfrak g_e\oplus\mathfrak g_o$, donde los dos factores son la parte par ("bosónica") e impar ("fermiónica") respectivamente. la parte par$\mathfrak g_e$forma un álgebra de mentira cerrada y actúa sobre la parte impar$\mathfrak g_o$por la acción conjunta

$$\begin{equation} ad_g:\mathfrak g_o\rightarrow\mathfrak g_o, \qquad q\rightarrow ad_g(q)=[g,q], \end{equation}$$ dónde $g\in\mathfrak g_e$y $[.,.]$es el conmutador de la superálgebra de Lie. Ahora, $\mathfrak g_o$es un espacio vectorial y por lo tanto forman un espacio de representación de la parte par $\mathfrak g_e$(bajo la acción conjunta). Ahora puedes descomponer $\mathfrak g_o$en representaciones irreductibles de $\mathfrak g_e$. Por lo tanto, puede construir una base de $\mathfrak g_o$que se transforma bajo una representación de $\mathfrak g_e$bajo la acción adjunta, o en otras palabras, sus conmutadores solo corresponden a alguna representación de $\mathfrak g_e$.

En el caso del que hablas,$\mathfrak g_e$es solo el álgebra de Poincaré y$\mathfrak g_o$se transforma bajo cierta representación espinora de él (bajo la acción/conmutador adjunto).

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Editar: creo que antes no entendí bien las preguntas sobre el papel de las identidades súper jacobi. Permítanme, siguiendo la sugerencia de joshphysics, desarrollar esto usando un lenguaje ligeramente más matemático (independiente de la base). Para un enfoque más dependiente de la base, recomiendo la respuesta de joshphysics a continuación.

Como expliqué anteriormente, la acción conjunta$\text{ad}:\mathfrak g_e\rightarrow\mathfrak{gl}(\mathfrak g_o)$, o en otras palabras$\text{ad}_x:\mathfrak g_o\rightarrow\mathfrak g_o$(dónde$x\in\mathfrak g_e$), es en realidad un$\text{dim}(\mathfrak g_o)$representación dimensional del álgebra de Lie$\mathfrak g_e$en el espacio vectorial$\mathfrak g_o$. Esto significa que es un homomorfismo del álgebra de Lie

$$\left[ \text{ad}_x,\text{ad}_y \right](z) = \text{ad}_{[x,y]}(z),\qquad x,y\in\mathfrak g_e, z\in \mathfrak g_o,$$

donde uso la notación

$$\left[ \text{ad}_x,\text{ad}_y \right] = \text{ad}_x\circ \text{ad}_y - \text{ad}_y\circ \text{ad}_x.$$

Se puede mostrar muy fácilmente que la acción adjunta satisface la identidad anterior y, por lo tanto, es una representación, haciendo uso de las identidades de Jacobi. Por lo tanto, las identidades de Jacobi aseguran que la acción adjunta sea un homomorfismo de álgebra de Lie. Si elige una base, puede ver fácilmente que esto es equivalente a lo que dice joshphysics en su respuesta. En particular, los coeficientes$s_{\alpha,i}^\beta$(en la notación de joshphysics), corresponden a una representación de la parte par$\mathfrak g_e$. Aunque no creo que tenga que ser la representación adjunta en general (ese no es el caso del álgebra de super-Poincaré, por ejemplo).

Creo que esto es probablemente equivalente a la respuesta de Heidar, pero lo incluiré de todos modos para aquellos que son menos matemáticos. Consideramos una superálgebra de Lie con base$\{B_i, F_\alpha\}$satisfaciendo las siguientes relaciones estructurales:

$$\begin{align} [B_i, B_j] &= ic_{ij}^{\phantom{ij}k}B_k, \qquad [F_\alpha, B_i] = s_{\alpha i}^{\phantom{\alpha i}\beta} F_\beta, \qquad \{F_\alpha, F_\beta\} = \gamma_{\alpha\beta}^{\phantom{\alpha\beta}i}B_i. \end{align}$$ El $B_i$se llaman generadores bosónicos y los $F_i$se denominan generadores fermiónicos. Ahora nos preguntamos: ¿se pueden elegir arbitrariamente las constantes de estructura? Bueno no; parte de la definición de una superálgebra de Lie es que los corchetes $[\cdot, \cdot]$y $\{\cdot, \cdot\}$son antisimétricas y simétricas respectivamente. Además, las identidades super-jacobi deben ser satisfechas como parte de la definición. Antisimetría del bracket $[\cdot, \cdot]$, por ejemplo, dice que eso $c_{ij}^{\phantom{ij}k}=-c_{ji}^{\phantom{ij}k}$. Entonces se puede demostrar que hacer cumplir las identidades de super-Jacobi requiere que las matrices $S_i$definido como $$\begin{align} (S_i)_\alpha^{\phantom\alpha\beta} = s_{\alpha i}^{\phantom{\alpha i}\beta} \end{align}$$ formar una representación adjunta de la subálgebra de Lie bosónica dada por la primera relación de estructura anterior.

Ahora podría preguntar, está bien, todo esto está muy bien, pero ¿por qué nos preocupamos por las álgebras que se definen de esta manera (como que requieren identidades súper jacobi)? Bueno, la respuesta a eso la da un famoso teorema de Haag, Lopuszanski y Sohnius .

En general decir que algunos objetos$A_{i}$llevar una representación (lineal)$R$de un grupo$G$solo significa que estás considerando la acción de$G$en el set de$A$s correspondiente a la representación$R$de$G$en$\displaystyle \mathrm{span}(\{A_i\})$.

Los físicos suelen utilizar índices para identificar rápidamente representaciones lineales (por ejemplo, 1 "índice vectorial" = representación fundamental), en particular para el grupo de Lorentz.

El caso de los índices fermiónicos es un poco más complicado, ya que en realidad no son representaciones del grupo de Lorentz y, como dijo twistor59, es necesario considerar la doble cobertura. Creo que este no es el punto principal de su pregunta, y puede encontrar algunos detalles en Wikipedia .

Por supuesto, esto parece trivial para un matemático, ya que puede considerar cualquier conjunto de n objetos para llevar una representación n-dimensional de cualquier grupo. El punto es que usted elige qué grupos En la teoría de campos, la invariancia relativista se implementa haciendo que cada campo tenga alguna representación del grupo de Lorentz y construya objetos escalares (Lagrangianos, amplitudes, etc.) con ellos.

Llevar cierta representación$R$entonces significa que el grupo de Lorentz actúa como se define por$R$en sus objetos (campo y otros operadores). Como sugirió en un comentario, le dice cuál es el conmutador con los operadores que representan los generadores del grupo Lorentz.

Comentarios a la pregunta (v3):

Los generadores SUSY fermiónicos pertenecen a un superespacio vectorial$V$. que un espacio vectorial$V$ lleva una representación de un álgebra de mentira$L$, por ejemplo, el álgebra de Lie de Lorentz, simplemente significa que es una representación del álgebra de Lie del álgebra de Lie$L$.

Hay una terminología similar con el álgebra de Lie.$L$reemplazado por un grupo de mentira$G$.

Advertencia: tenga en cuenta que en la literatura a menudo se encuentran autores que hablan de un grupo de Lie$G$cuando en realidad se refieren al álgebra de Lie correspondiente$L$, y viceversa.

En particular, tenga en cuenta que una representación de grupo de Lie$V$del grupo mentira$G$es también una representación del álgebra de Lie$V$del álgebra de Lie correspondiente$L$, mientras que lo contrario no es necesariamente el caso.