¿Por qué las simetrías están etiquetadas por grupos y no por representaciones?

Los físicos dirán que cierto sistema tiene GRAMO simetría, donde GRAMO es algún grupo, como S tu ( 2 ) o S 3 o lo que sea. Para mostrar que este es el caso, evocarán una representación explícita ρ GRAMO de ese grupo y mostrar que las ecuaciones de los movimientos, o la acción, o lo que sea, siguen siendo las mismas. Pero un grupo es más general que una representación específica de ese grupo, por lo que combinar los dos parece incorrecto.

Entonces, ¿qué significa "el sistema tiene GRAMO simetría" significa?

  1. No creo que esto pueda significar "Existe una representación ρ GRAMO de GRAMO eso es una simetría del sistema", ya que esto es trivialmente cierto para todos GRAMO .
  2. Supongo que podría significar "Para todas las representaciones ρ GRAMO de GRAMO en el espacio vectorial del sistema V , ρ GRAMO es una simetría." Si esto es así, nunca he visto esta declaración mucho más fuerte realmente mostrada, pero tal vez me estoy perdiendo algo obvio.
  3. Conociendo a mis colegas, podría significar simplemente "Hay una representación específica ρ GRAMO de GRAMO eso es una simetria. Por razones culturales y lingüísticas, simplemente olvidaremos la información de representación, que puedes resolver por tu cuenta".
  4. ¿Algo completamente diferente?

Respuestas (1)

Diría que significa que tengo un lagrangiano L eso depende de un montón de campos. Puedo transformar esos campos bajo GRAMO . Pueden o no transformarse bajo la misma representación ρ GRAMO de algún grupo GRAMO . Los objetos en cualquier representación dada no son invariantes bajo el grupo (a menos que estén en una representación trivial). Es el sistema en su conjunto. Así que el sistema realmente tiene la simetría GRAMO , no ρ GRAMO .

Ejemplos:

  • En QCD uno tiene simetría de calibre SU(3). Los quarks se transforman bajo la fundamental. Los gluones se transforman bajo el adjunto. Los bariones son escalares bajo SU(3). Son todas representaciones diferentes pero la simetría del sistema como un todo es la simetría del grupo GRAMO = S tu ( 3 ) .
  • Simetría global de Lorentz. En el modelo estándar uno tiene escalares (no se transforma), fermiones (espín 1/2 rep) y bosones vectoriales (espín 1). Todos los cuales están en diferentes representaciones, pero todo el sistema tiene una simetría de Lorentz.
  • Simetría conforme. Uno tiene diferentes operadores de peso conforme pero todo se transforma bajo la misma simetría conforme.

Dicho de una manera ligeramente diferente, el sistema tiene una simetría GRAMO , tiene diferentes componentes, todos afectados de manera diferente por una transformación de simetría en GRAMO , pero al final del día, el sistema es invariante bajo la acción de GRAMO como un todo, no una representación específica.

Aclaración:

Tomemos el lagrangiano L para representar nuestro " sistema " (también puede tomar la acción o la función de partición, depende de qué tan general quiera ser, pero sigamos con el Lagrangiano por ahora). El Lagrangiano depende de diferentes campos. ϕ ρ GRAMO i que están en diferentes representaciones ρ GRAMO i . Esto lo podemos afirmar de la siguiente manera:

L = L ( ϕ ρ GRAMO 1 , ϕ ρ GRAMO 2 , . . . , ϕ ρ GRAMO norte ) .

Ahora, la afirmación de que el sistema tiene cierta simetría significa que el Lagrangiano L no cambia O en otras palabras L está en la representación trivial de GRAMO .

La lista de campos de los que depende el sistema (Lagrangiano) puede transformarse de muchas maneras bajo la acción del grupo. GRAMO , siempre que la transformación de Lagrange sea trivial , entonces podemos decir que el sistema tiene el grupo de simetría GRAMO .

No creo que esto responda a mi pregunta: entiendo que cada campo se transforma bajo una representación de G. La colección de campos luego se transforma como una representación específica de G, un producto de las repeticiones individuales. La representación de este producto respeta el Lagrangiano. ¡Los ejemplos dados parecen implicar que la representación elegida es muy importante! Si elijo solo un conjunto de campos y cambio a una representación trivial en él, ¡el Lagrangiano ya no es simétrico bajo la acción de G! Pero en lo que respecta a la teoría de la representación, la representación trivial es una representación perfectamente buena.
@ F.Bardamu No entiendo tu punto. Si tiene campos que se transforman bajo una repetición diferente pero ahora el lagrangiano no es invariante, entonces no tiene esa simetría. Las representaciones simplemente te dicen cómo cambian los diferentes objetos bajo una transformación del grupo. Si el lagrangiano no es invariante, entonces esa transformación no es una simetría del sistema.
Este es precisamente el problema: si un sistema es simétrico bajo una representación de G, pero no bajo otra representación de G, entonces ¿por qué decir "El sistema es simétrico bajo el grupo G" cuando la declaración más precisa es "El sistema es simétrico bajo el grupo G"? esta representación específica rho_G del grupo G"?
@ F.Bardamu Realmente no veo cómo obtienes esto de mi comentario. Cualquier objeto separado en el Lagrangiano que no se transforme trivialmente (léase " se transforma en cualquier otra representación ") no es simétrico bajo él, precisamente porque cambia bajo el grupo G. Decimos que el sistema como un todo tiene una simetría GRAMO si el sistema en su conjunto no cambia, aunque sí lo hagan los distintos componentes. Tome GR por ejemplo. Tienes vectores y tensores y todos cambian de diferentes maneras (diferentes representaciones), pero la acción de Hilbert no, por lo tanto, las ecuaciones no.
Por lo tanto, el sistema es invariante frente al difeomorfismo, aunque los objetos separados en sus distintas representaciones, de hecho, cambien.
@ F.Bardamu He agregado una aclaración a la respuesta. Espero que eso ayude.
@F.Bardamu "Si un sistema es simétrico bajo una representación de G, pero no bajo otra representación de G" Si cambia la representación de uno de los campos, está cambiando el contenido del campo, por lo que está cambiando el sistema . Por ejemplo, la representación fundamental de SU(3) tiene 3 grados de libertad, mientras que la adjunta tiene 8. Considerando campos en diferentes representaciones, significa que estás considerando física diferente. Entonces, naturalmente, cambiar algunos de ellos convertiría un sistema que solía tener una simetría, en uno que ya no la tiene.
Lo siento, tal vez soy denso, pero la definición en su aclaración parece cierta para cualquier grupo G, lo que hace que "el sistema es simétrico bajo G" sin contenido. Simplemente deje que los diversos rho_G sean la representación trivial (o tantas copias como sea necesario para que coincidan con las dimensiones).
¿Por qué las simetrías están etiquetadas por grupos y no por representaciones?
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