¿Por qué los vectores están en la representación (12,12)(12,12)\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) del Grupo de Lorentz?

Acabo de terminar de leer el excelente libro "Physics from Symmetry" de Jakob Schwichtenberg.

Me quedo con una duda. En el libro comienza con una introducción teórica del grupo y muestra claramente cómo podemos ver al grupo de Lorentz como dos copias del S tu ( 2 ) y deriva todo el Lagrangiano y la ecuación de movimiento de las representaciones de Lorentz del grupo y las propiedades matemáticas de los vectores sobre los que actúan estas transformaciones. Esta descripción nos permite usar Spin (Concebido como la suma de los dos casimires de las dos copias diferentes de S tu ( 2 ) que componen el Grupo de Lorentz) para distinguir las representaciones y ese Spin resulta ser el Spin físico real del campo descrito por objetos que se transforman bajo esa representación que por cierto me pareció muy chula.

Él define 4-Vectores como objetos que se transforman según el giro 1 ( 1 2 , 1 2 ) representación del Grupo de Lorentz y que se alinea con el hecho de que los objetos que se describen mediante campos vectoriales (es decir, objetos que obedecen a la ecuación de movimiento de Proca) son bosones.

Pero, ¿no debería ser posible construir campos de bosones a partir de objetos que se transforman de acuerdo con la ( 1 , 0 ) y ( 0 , 1 ) representaciones?

Sinceramente, todavía no he intentado ver cómo se verían, pero no veo ninguna razón por la que no.

Todavía tendrían Spin 1, seguirían siendo objetos de 4 componentes, pero eso introduciría versiones de los bosones para diestros y zurdos (que no sé si es aceptable, pero podría ser interesante si lo es).

¿Hay algo que me estoy perdiendo acerca de esto? y, si no, ¿alguien ha tratado de describir las partículas y sus interacciones a través de campos de este tipo?

No estoy seguro de lo que estás preguntando aquí. Es un hecho que la definición ordinaria de 4-vectores se transforma en el ( 1 / 2 , 1 / 2 ) representación. En términos de vectores y formas, el ( 1 , 0 ) y ( 0 , 1 ) representaciones son las 2-formas (anti-)auto-dual, por lo tanto ( 1 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 ) es una forma de 2, no un vector. ¿Quién dice que no es posible que estos sean bosones?
la pregunta es, "¿qué hay dentro de estas representaciones y es posible describir los bosones quirales izquierdo y derecho a partir de ellas?"

Respuestas (1)

El ( 1 , 0 ) y ( 0 , 1 ) Las representaciones no son cuatridimensionales, sino tridimensionales. Juntos - como la suma directa ( 1 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 ) - forman las 2-formas, es decir, tensores antisimétricos, en R 4 , a diferencia de los vectores. Las partes de la suma son las partes autodual y anti-autodual de la forma 2 bajo el dual de Hodge.

Así que esta es, por ejemplo, la representación en la que se transforma el tensor de fuerza del campo electromagnético. Ciertamente es un objeto bosónico. Esta también sería la representación relevante para una teoría de calibre de rango dos, donde el campo de calibre no es una forma de 1 o un vector A m pero una forma 2 B m v .

bueno eso es lo que estaba buscando. Todavía no entiendo por qué deberían ser de 3 y no de 4 dimensiones, la representación 1 de S tu ( 2 ) es tridimensional y la representación 0 es unidimensional, por lo tanto, cuando toma el producto cartesiano, parece que obtiene 4 grados de libertad.
@Defcon97 El ( metro , norte ) representación es el producto tensorial de metro y el norte representacion de s tu ( 2 ) , no el producto cartesiano.
Hmm ok, probablemente me equivoqué en algunas de estas cosas. ¿Puedo pedirle algunas recomendaciones de recursos sobre estos aspectos de las representaciones del grupo de Lorentz y la teoría de la representación?
¿Por qué los vectores están en la representación (12,12)(12,12)\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) del Grupo de Lorentz?
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