¿Qué significa "el NN{\bf N} de un grupo"?

OP escribió (v1):

Lo que hace el${\bf N}$de un grupo" significa?

1) Los físicos se refieren a una representación irreducible (irrep) para cualquier grupo$G$estamos hablando de. El número${\bf N}$se refiere a la dimensión de la irrep. El punto es que los irreps son tan raros que los irreps a menudo se especifican únicamente por su dimensión (isomorfismos de módulo). (Esto no es del todo cierto en general, y los físicos comienzan a decorar el símbolo de dimensión en negrita con otros adornos, por ejemplo${\bf 3}$y$\bar{\bf 3}$, o por ejemplo${\bf 8}_v$y${\bf 8}_s$y${\bf 8}_c$, etc, para distinguir.)

2) Por cierto, sobre una representación grupal $\rho: G \to GL(V,\mathbb{F})$, dónde$G$es un grupo, donde$\mathbb{F}$es un campo (típicamente$\mathbb{F}=\mathbb{R}$o$\mathbb{F}=\mathbb{C}$), dónde$V$es un$\mathbb{F}$-espacio vectorial, y donde$\rho$es un homomorfismo de grupo ; tenga en cuenta que los físicos se refieren tanto al mapa$\rho$y el espacio vectorial$V$como "una representación".

Qué quiere decir "${\bf N}$de un grupo"?

los${\bf N}$de un grupo es de hecho una forma abreviada de$N$Representación irreductible -dimensional de este grupo.

Es solo una abreviatura de un${\bf N}$¿representación? Si es así, ¿qué es exactamente un${\bf N}$representación de un grupo dado?

Los elementos del grupo son operaciones abstractas definidas por cómo actúan sobre objetos dados. Por ejemplo, el grupo de rotación en tres dimensiones,$\mathrm{SO(3)}$, está formado por elementos que giran sistemas de coordenadas de tal forma que la longitud de cualquier vector es invariante. Para hacer las cosas más explícitas, asignamos representaciones lineales a estos grupos, es decir, mapeamos los elementos del grupo en matrices que actúan sobre algún espacio vectorial.$\mathbb V$. Si$\mathbb V$es$N$-dimensional por lo que es la representación del grupo.

Me caigo$N$Las matrices bidimensionales que representan los elementos del grupo pueden - mediante una transformación de similitud - escribirse en forma de bloques diagonales , entonces se dice que la representación es reducible . De lo contrario, se llama irreducible (o simplemente un irrep. ) y puede ser etiquetado por$\bf N$que denota su dimensión. Por ejemplo, la rotación general en el plano, que constituyen el grupo$\mathrm{SO(2)}$, puede escribirse simplemente como$e^{i\theta}$dando una representación irreducible unidimensional. Por otro lado, la representación bidimensional

$$\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{bmatrix}.$$ es reducible ya que se puede poner en forma diagonal $$\begin{bmatrix} e^{i\theta}&0\\ 0&e^{-i\theta}\\ \end{bmatrix},$$ haciendo uso de una transformación de similitud generada por $$\frac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1&1\\ -i&i\\ \end{bmatrix}.$$ Deberíamos etiquetar esa representación irreducible unidimensional así $\bf 1$y por lo tanto la representación reducible bidimensional está etiquetada por $\bf 1\oplus \bf 1$, donde el $\bf 1$se refiere a cada uno de los bloques unidimensionales que se pueden escribir después de una transformación de similitud. Esta representación en realidad actúa sobre una suma directa de dos espacios vectoriales de dimensiones $1$.

• ¿Cómo puedo elaborar/escribir tal representación concretamente, como las matrices de Pauli para$SU(2)$? Estaría agradecido por un ejemplo simple.
• ¿Qué significa cuando algo "se transforma como el${\bf N}$"?

Para resolver las representaciones irreducibles necesitamos tratar con el álgebra en lugar del grupo. Entre todos los elementos de un grupo de Lie hay algunos especiales que pueden usarse para generar cualquier otro. Se llaman generadores del grupo y satisfacen una estructura particular, llamada álgebra de Lie . Por ejemplo, el grupo$\mathrm{SU}(2)$tiene un álgebra de mentira$\mathfrak{su}(2)$cuyos generadores son$T_a$,$a=1,2,3$, satisfactorio

$$[T_a,T_b]=i\epsilon_{abc}T_c.$$ Una representación $R$de estos elementos abstractos tiene que conservar esta estructura, es decir, $$[R(T_a),R(T_b)]=i\epsilon_{abc}R(T_c),$$ dónde $R(T)$se entenderá como un $N$-matriz dimensional.

Del álgebra de Lie se pueden obtener todas las representaciones posibles. Esto generalmente se hace escribiendo los generadores en la llamada base de Cartan-Weyl, que descompone el álgebra en la subálgebra de Cartan (el conjunto máximo de generadores autoconmutadores o diagonalizables) y los operadores de escalera o escalones. Los estados de una representación irreducible dada están dados por los vectores propios de los generadores de Cartan. Claramente estos estados son$N$-vectores dimensionales dado que la representación del álgebra es$N$-dimensional. Entonces, cuando decimos que algo, un campo, por ejemplo, se transforma como el$\bf N$de un álgebra queremos decir que este objeto se asigna a una matriz de columna con$N$entradas cuya base viene dada por los vectores propios mencionados anteriormente. por ejemplo, el$\mathfrak{su}(2)$el álgebra solo tiene un operador de paso,$T_3$. Para una irrep. bidimensional. la matriz$R(T_3)$tiene dos vectores propios. Un campo transformándose como$\mathbf N$- o simplemente como un doblete - es$\phi$, tal que

$$R\phi= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_1\\ \phi_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \phi_1'\\ \phi_2' \end{bmatrix}.$$

Se puede mostrar, por ejemplo, que el$\mathfrak{su}(2)$el álgebra tiene$N$-representaciones dimensionales para cualquier número entero$N$. Las álgebras clásicas$\mathfrak{su}(n)$,$\mathfrak{so}(n)$y$\mathfrak{sp}(n)$tener al menos las representaciones singulete, definitoria y adjunta. El singlete es la representación unidimensional, es decir, son sólo números. Tenga en cuenta que la única posibilidad de que los números satisfagan un álgebra no trivial es que todos sean cero. Son útiles en física cuando algo no se transforma en absoluto. La representación definitoria es la$n$-dimensional, por ejemplo, la representación tridimensional de un quark transformándose bajo el sabor$\mathfrak{su}(3)$. Cuando el campo vectorial$\mathbb V$es el algebra misma la representacion se llama adjunta. En este caso, la dimensión del álgebra es igual a la dimensión de la representación. Los campos de indicadores se transforman bajo esta representación de los grupos de indicadores. Por ejemplo, el álgebra$\mathfrak{su}(5)$posee$24$generadores para que el$\bf{24}$es la representación adjunta de$\mathfrak{su}(5)$.

Una vez que conocemos la representación$R(T)$para un álgebra de Lie podemos inducirlo al grupo mediante una operación exponencial,

$$R(g)=\exp\left[i\phi R(T)\right],$$ dónde $g$denota el elemento del grupo. Observe que si tenemos un singlete del álgebra, el singlete del grupo resulta ser solo el número $1$.

Hay aunque algunas sutilezas al pasar del álgebra al grupo . Partiendo de un álgebra de Lie dada y asignando una representación dada, uno puede terminar con diferentes grupos de Lie. Así que para la representación adjunta de$\mathfrak{su}(2)$el grupo generado resulta ser$\mathrm{SO}(3)$en vez de$\mathrm{SU}(2)$.

''la$N$de un grupo$G$'' se refiere a un$N$Representación irreducible (proyectiva) -dimensional del grupo (típicamente semisimple)$G$. Una representación es un homomorfismo.$U$de$G$al espacio de autoaplicaciones lineales de un espacio vectorial$V$(en el caso proyectivo actuando sobre los rayos); es irreductible si no hay una base en la que todos$U(g)$son bloques triangulares. La dimensión de la representación es la dimensión de$V$.

Por ejemplo, la teoría de la representación de$SO(3)$implica que hay precisamente una representación proyectiva irreductible de cada dimensión$N$. La representación bidimensional es la representación del espinor, la tridimensional la representación vectorial ordinaria.

Si un objeto$x$se transforma como un$N$después$x$es un elemento genérico de un$N$-espacio dimensional con la representación$N$, y por lo tanto se transforma bajo un elemento de grupo$g$por medio de$x\to U(g)x$. Por ejemplo en caso de$SO(3)$, si$x$se transforma como un$2$entonces es un espinor, si se transforma como un$3$entonces es un vector, etc.

En muchos casos, la dimensión determina la representación hasta el isomorfismo, de ahí la jerga. (En caso contrario, las representaciones pueden llamarse$N$y$\overline N$, etc., para distinguirlos). Por ejemplo, la dimensión de SU(5) es 24, y el 24 caracteriza la representación adjunta (que tiene dimensión 24).