Representación del operador como matriz de bloques

Question

Representación del operador como matriz de bloques

Konstantin Jrizman

Tengo dos operadores que viajan: $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & i\\ 0 & 1 & 0\\ -i & 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & -i\sqrt{2} & i\\ i\sqrt{2} & 2 & \sqrt{2}\\ -i & \sqrt{2} & 3 \end{pmatrix}$ .

Me han pedido que encuentre valores propios y vectores propios del operador $A$ , y demostrar que si $A$ tiene valores propios degenerados, entonces, uno puede representar al operador $B$ como una matriz de bloques en la base de los vectores propios de $A$ .

Mi solución : he encontrado que los valores propios de $A$ son $\omega_1 =3 ;\,\, \omega_{2,3}=1$ con los vectores propios correspondientes $v_1 =\begin{pmatrix} i\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ , y $v_2 =\begin{pmatrix} -i\cdot s\\ t\\ s \end{pmatrix}$ , correspondiente al valor propio degenerado.

Ahora, necesito representar la matriz. $B$ como un bloque de matrices de la base que he encontrado. Yo sé eso $v_1$ es vector propio simultáneo de $B$ , pero ¿cómo continuar?

fénix87

Si

v_{1}

$v_1$ fuera un vector propio que podrías diagonalizar

B

$B$ en la base de

A

$A$ . Es más que el subespacio generado por

v_{1}

$v_1$ y

v_{2}

$v_2$ es

B

$B$ -invariante, de ahí la descomposición diagonal en bloques.

Konstantin Jrizman

¿Cómo puedo derivar de él los "bloques" en la diagonal de

B

$B$ ?

Dvij DC

¿Está familiarizado con el procedimiento de expresar cualquier matriz en la base propia de algún operador mediante una transformación de similitud utilizando la matriz cuyas filas/columnas son los vectores propios de dicho operador?

Respuestas (2)

Representación del operador como matriz de bloques

Si $v_1$ fuera un vector propio que podrías diagonalizar $B$ en la base de $A$ . Es más que el subespacio generado por $v_1$ y $v_2$ es $B$ -invariante, de ahí la descomposición diagonal en bloques.
¿Cómo puedo derivar de él los "bloques" en la diagonal de $B$ ?
¿Está familiarizado con el procedimiento de expresar cualquier matriz en la base propia de algún operador mediante una transformación de similitud utilizando la matriz cuyas filas/columnas son los vectores propios de dicho operador?

roger vadim · Answer 1

Necesitas encontrar la forma del operador. $\hat{B}$ en la base dada por los vectores propios de $\hat{A}$ . Así, si tienes

\hat{A} v_{i} = ω_{i} v_{i},

$\hat{A}\mathbf{v}_i = \omega_i\mathbf{v}_i,$ necesitas calcular todos los elementos de la matriz

b_{i j} = v_{i}^{T} \cdot \hat{B} \cdot v_{j},

$b_{ij} = \mathbf{v}_i^T\cdot\hat{B}\cdot\mathbf{v}_j,$ anótelos como una matriz y, si es necesario, reorganice las filas.

No se me permite proporcionar la respuesta completa, sin embargo, supongo que tienes una $1\times 1$ bloque correspondiente al vector propio que es el vector propio de ambas matrices, y un bloque no diagonal $2\times 2$ bloque para los dos vectores propios restantes.

¿Cómo es que uno de ellos puede ser una matriz? Si trato de calcularlo, incluso solo con las dimensiones de matriz/vector, debería ser $1 x 1$ bloque, (escalar) en todas partes, ¿o me equivoco?
Creo que estás confundido acerca de qué es la matriz diagonal en bloque. Para $1\times 1$ bloque habrá sólo un elemento diagonal.
Por cierto, primero debe normalizar sus vectores propios y ortogonalizar $v_2$ y $v_3$ .

lucifer · Answer 2

Desde $v_2=\begin{pmatrix}-is\\t\\s\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-i\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ , por lo tanto, estoy eligiendo mi base establecida como

{mi}_{1} = (\begin{matrix} i \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

$e_1=\begin{pmatrix}i\\0\\1\end{pmatrix}$

{mi}_{2} = (\begin{matrix} - i \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

$e_2=\begin{pmatrix}-i\\0\\1\end{pmatrix}$

{mi}_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

$e_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ Ahora puede verificar fácilmente que esta matriz es la misma que B,

B = (\begin{matrix} (- 2 i {mi}_{1} + i {mi}_{2} + \sqrt{2} {mi}_{3}) (\sqrt{2} {mi}_{2} + 2 {mi}_{3}) (2 {mi}_{1} + {mi}_{2} + \sqrt{2} {mi}_{3}) \end{matrix})

$B=\begin{pmatrix}(-2ie_1+ie_2+\sqrt{2}e_3)\quad(\sqrt{2}e_2+2e_3)\quad(2e_1+e_2+\sqrt{2}e_3)\ \ \end{pmatrix}$

Gracias, pero ¿a partir de aquí es posible descifrar los bloques de la matriz?
La matriz final se puede considerar una matriz de bloques como $e_1,e_2,e_3$ son matrices, pero si desea escribir una matriz cuadrada en términos de bloques cuadrados, no puede escribir porque los vectores base no son matrices cuadradas.

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