¿Cómo se calculan los valores propios de posición de la matriz correspondiente al operador de posición?

Indirectamente.

Para empezar, establece las molestas e inútiles constantes$\hbar/m\omega \mapsto 1$, para trabajar en unidades naturales. Luego reconoce la matriz, como Eric enfatiza al identificar su (5), como está escrito en la base numérica de los estados propios de energía discreta del oscilador$|n\rangle$. Ahora para un cambio de base celebrado. El infinito no debería molestarte.

Considere el estado

Los profesionales normalmente usan operadores más simples en lugar de sumas completas; es decir, suman la suma a

Entonces, la respuesta a su pregunta es que los valores propios son todos valores continuos x , para vectores propios$e^{x^2/2} e^{-(a^\dagger-\sqrt{2} x)^2/2} |0\rangle /\pi^{1/4}$.

Para verificar su álgebra, pruebe el vector propio no normalizado evidente correspondiente a x=0 ,$(1,0,-1/\sqrt{2},0,\sqrt{3/8},0,-\sqrt{5}/4,0,...)$, asociado a los números de Hermite .

Para una hoja de cálculo rápida sobre la base de números ops cf Messiah, Quantum Mechanics VI Ch XII §5.

1. Esa forma de "matriz" del operador de posición, infinitamente dimensional o no, no tiene sentido ya que ni usted ni la página que vincula dicen qué base se supone que es con respecto a.

2. Desde el$\delta$-las distribuciones que uno podría tomar como los vectores propios del operador de posición no son parte del espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables sobre las que actúa el operador de posición, no se puede diagonalizar en ese espacio. Para que un operador en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita sea diagonalizable en un sentido significativo, su espectro debe ser discreto, ya que el significado habitual de una "base" de tal espacio es el de una base de Hilbert, que es contable en el caso separable.

Si abordamos este problema como usted lo plantea, sin asumir ningún contexto, tenemos lo siguiente: nos dan una matriz en una base no especificada, que Cosmas identificó como los estados propios de energía de un oscilador armónico, y que nos dicen que corresponde a la operador de posición

En esta base (Hilbert), las funciones delta son los elementos básicos estándar, que no son funciones propias de posición, ya que no son funciones propias de la matriz dada.

Llamemos a nuestros elementos base$|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle,\ldots,|k\rangle,\ldots$. Su tramo lineal es denso en el espacio de estado, y un elemento general se puede escribir como un límite con el producto interno obvio que lo convierte en una base ortonormal, que es una secuencia cuadrada integrable$(a_k)_{k\ge0} = (a_0,a_2,a_3,\ldots)$.

Su pregunta es cómo encontrar los valores propios si no puede escribir un polinomio característico. Cuando la matriz tiene una forma agradable como la presente, en la que las entradas de la matriz son una expresión en número$n$de la fila en la que están, obtenemos una recurrencia que te permite encontrar los coeficientes uno por uno.

En nuestro ejemplo, para$(a_k)$para formar un vector propio con valor propio$\lambda$Debemos tener

y

Esto define una recurrencia que se puede simplificar escribiendo$b_k = \sqrt{k!}a_k$, por lo que obtenemos

y

La solución con$b_0 = 0$da el$0$vector, por lo que podemos suponer que$b_0 = 1$. Es claro que por cada$\lambda$obtenemos una secuencia$b_k$esa es una solución ($\lambda = 0$da la solución de Cosmas, como debería). Esto da una serie infinita en la base original, cuyo límite, si existiera, sería el estado propio de posición para la posición$\lambda$. Tenga en cuenta que volviendo al oscilador armónico, esta es una suma explícita en estados propios de energía cuya forma explícita se conoce.

Lo que no está tan claro es si la secuencia asociada$(a_k)$es en realidad integrable al cuadrado, es decir, si$\langle a,a\rangle = \sum a_k^2 = \sum \frac{b_k^2}{k!} < \infty$, para lo cual necesitamos acotar el crecimiento de la$b_k$. Aún mejor sería encontrar una expresión de forma cerrada para el$b_k$.

Podemos empezar configurando$f(x) = \sum_{k = 0}^\infty b_kx^k$Sea la función generadora de la$b_k$. Entonces la relación de recurrencia implica que$f - \lambda xf + x^2(xf)' = f - \lambda xf + x^2f + x^3f'$es una serie de potencias cuyo coeficiente de$x^{n+1}$es$nb_{n-1} + b_{n+1} - \lambda b_n$para$n\ge 0$, entonces esto es 0, mientras que el término constante es$b_0 = 1$, por lo que finalmente podemos obtener

Esto es general también. En nuestro caso, esto no parece nada fácil, pero Sympy realmente encuentra la solución.

por agradable$f$, es posible que encuentre una expresión de forma cerrada para el$b_n$, por lo tanto, la$a_n$de sus coeficientes de Taylor. En este caso, si alguien sabe cómo encontrar una expresión de forma cerrada para los coeficientes a partir de esto (o de cualquier otra forma) o cómo acotar los coeficientes$b_n$, por favor comenta.

Como comentario final, la suma de la serie puede existir en algún sentido formal incluso si se encuentra fuera del espacio de estado. Si la suma de los cuadrados diverge, eso significa que no es normalizable, por lo que la interpretación probabilística estándar del vector de estado presentará algunas dificultades. Como señaló ACuriousMind, el hecho de que haya un número incontable de valores propios de posición debería implicar que ninguna de estas sumas es realmente integrable al cuadrado.