¿Qué se entiende por los "componentes" del operador?

Question

¿Qué se entiende por los "componentes" del operador?

aakash

Hasta ahora he entendido que los vectores se representan en una base, y los operadores son mapas lineales que asignan un vector a otro en el mismo espacio o en un espacio diferente.

Lo que no entiendo es esto: cuando tomamos el producto interno de operadores con vectores base, da componentes del operador, así que puedo multiplicar los componentes con la base correspondiente para dar un vector, pero los operadores son diferentes de los vectores.

¿Cuáles son estos "componentes" de los operadores que obtengo? ¿Hay una interpretación geométrica para esto?

A | {mi}_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{norte} A_{i j} | {mi}_{i} ⟩

$A|e_j\rangle = \sum_{i=1}^n A_{ij}|e_i\rangle$

Zumbido

Estrictamente hablando, los "operadores" son solo "mapas lineales que asignan un vector a otro en el mismo espacio", no a otros espacios. Si el mapeo es entre dos espacios diferentes, entonces el objeto más general es una "transformación" lineal. En otras palabras, una transformación lineal

T : V \to V^{'}

$T:V\rightarrow V'$ es un operador lineal si y solo si

V = V^{'}

$V=V'$ .

youpilat13

@Buzz En una forma muy sucia de hacer las cosas, para espacios de productos internos, siempre tomé un operador para definir también un mapeo desde

V \times V^{*}

$\mathcal{V}\times\mathcal{V}^\ast$ a

F

$\mathcal{F}$ porque dado un producto interno único, un mapeo

O : V \to V

$O: \mathcal{V}\to\mathcal{V}$ induce naturalmente un mapa de

V \times V^{*}

$\mathcal{V}\times\mathcal{V}^\ast$ a

F

$\mathcal{F}$ ?

Respuestas (6)

¿Qué se entiende por los "componentes" del operador?

Estrictamente hablando, los "operadores" son solo "mapas lineales que asignan un vector a otro en el mismo espacio", no a otros espacios. Si el mapeo es entre dos espacios diferentes, entonces el objeto más general es una "transformación" lineal. En otras palabras, una transformación lineal $T:V\rightarrow V'$ es un operador lineal si y solo si $V=V'$ .
@Buzz En una forma muy sucia de hacer las cosas, para espacios de productos internos, siempre tomé un operador para definir también un mapeo desde $\mathcal{V}\times\mathcal{V}^\ast$ a $\mathcal{F}$ porque dado un producto interno único, un mapeo $O: \mathcal{V}\to\mathcal{V}$ induce naturalmente un mapa de $\mathcal{V}\times\mathcal{V}^\ast$ a $\mathcal{F}$ ?

Jagerber48 · Answer 1

Nota: utilizo la notación de suma de Einstein en todo momento. Debe entenderse que cualquier expresión que tenga un índice repetido dos veces tiene un sumatorio omitido, pero implícito, sobre ese índice.

Configuración

Considere la expresión

T | v ⟩

$T|v\rangle$

dónde $|v\rangle \in \mathcal{H}$ es un vector abstracto de dimensión finita que vive en un espacio de Hilbert y $T : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ es un operador en el espacio de Hilbert que asigna vectores antiguos a vectores nuevos. Trate de resistir la tentación de imaginar $|v\rangle$ como vector columna y $T$ como matriz. Todavía no hemos elegido una base, por lo que aún no podríamos completar estas matrices con números. Eso seguirá en breve.

El álgebra lineal nos enseña que en un espacio vectorial de dimensión finita (el espacio de Hilbert es un espacio vectorial) podemos encontrar un conjunto ortonormal de vectores $\{|e_i\rangle\}$ que son linealmente independientes y abarcan el espacio vectorial. Este último hecho significa que cualquier vector puede escribirse

Expansión de un vector en componentes

| v ⟩ = | {mi}_{i} ⟩^{mi} [v]_{i}

$|v\rangle = |e_i\rangle {^e[v]_i}$

Aquí ${^e[v]_i}$ es el $i^{th}$ componente de $v$ con respecto a la base $\{e_i\}$ .

Recuerde que los sujetadores como $\langle e_i|$ son vectores duales que actúan sobre vectores (kets) y devuelven escalares. Actuar un sostén en un ket es como tomar el producto punto de los vectores correspondientes, pero un poco más generalmente para espacios no euclidianos (que de todos modos no tratamos en la mecánica cuántica normal).

Podemos actuar el sostén $\langle e_j |$ a la izquierda de esta expresión y ver

⟨ {mi}_{j} | v ⟩ = ⟨ {mi}_{j} | {mi}_{i} ⟩^{mi} [v]_{i} = d_{j i}^{mi} [v]_{i} =^{mi} [v]_{j}

$\langle e_j |v \rangle = \langle e_j |e_i \rangle {^e[v]_i} = \delta_{ji}{^e[v]_i} = {^e[v]_j}$

| v ⟩ = | {mi}_{i} ⟩ ⟨ {mi}_{i} | v ⟩

$|v\rangle = |e_i\rangle \langle e_i | v\rangle$

He usado la ortonormalidad de la base para $\langle e_j |e_i \rangle = \delta_{ji}$ . Entonces vemos que el $j^{th}$ componente del vector $|v\rangle$ con respecto a la base $\{e_i\}$ (que llamamos ${^e[v]_j}$ ) es exactamente $\langle e_j | v \rangle$ . En la notación de Dirac, encontramos los componentes de las cosas mediante la construcción de estructuras de soporte "cerradas".

Expansión de un operador en componentes

¿Cómo funciona esto para los operadores?

T | v ⟩ = T | {mi}_{j} ⟩ ⟨ {mi}_{j} | v ⟩

$T |v \rangle = T |e_j\rangle\langle e_j|v\rangle$

Aquí acabo de expandir $|v\rangle$ en sus componentes. Tenga en cuenta que parece que acabo de "apretar" al operador $|e_j\rangle \langle e_j| = \sum_j |e_j \rangle \langle e_j|$ entre $T$ y $|v\rangle$ . Resulta que, debido a la integridad de la base $\{|e_j\rangle\}$ , eso $|e_j\rangle \langle e_j|$ es equivalente a la identidad $I$ para que puedas exprimirlo en cualquier lugar. Esto es de una utilidad indescriptible cuando se trata de hacer álgebra lineal en notación de Dirac.*

Nótese que la construcción $\left(T|v\rangle\right) = |v'\rangle$ es simplemente equivalente a otro ket. Encontremos las componentes de este ket actuando sobre la izquierda con $\langle e_i |$ (Como tomar el producto escalar con $\langle e_i|$ ).

⟨ {mi}_{i} | T | {mi}_{j} ⟩ ⟨ {mi}_{j} | v ⟩

$\langle e_i | T |e_j\rangle \langle e_j |v\rangle$

ahora la cantidad $\langle e_i | T |e_j\rangle$ es un escalar y $\langle e_j |v\rangle$ es también un escalar. A la primera cantidad la llamamos $i, j$ componente de la matriz que representa al operador $T$ en el $e$ base. Suponer $\{|f_i\rangle\}$ es otra base ortonormal completa. Entonces definimos

_{F}^{mi} [T]_{i j} = ⟨ {mi}_{i} | T | F_{j} ⟩

${^e_f [T]_{ij}} = \langle e_i | T | f_j\rangle$

En caso de que usemos la misma base a la izquierda y a la derecha tenemos ${^e_e[T]_{ij}}$ y podríamos omitir el pre-subíndice.**

Expresiones Matriciales

Entonces podemos escribir

⟨ {mi}_{i} | T | {mi}_{j} ⟩ ⟨ {mi}_{j} | v ⟩ =_{mi}^{mi} [T]_{i j}^{mi} [v]_{j}

$\langle e_i | T |e_j\rangle \langle e_j |v\rangle = {^e_e [T]_{ij}} {^e[v]_j}$

Lo que hemos hecho aquí es que hemos tomado la expresión original, abstracta e independiente de la base $T|v\rangle$ y lo representó como una fórmula matricial más concreta con respecto a una base particular.

Incluso podemos escribirlo como una expresión matricial verdadera (a diferencia de una expresión en los componentes escalares):

_{mi}^{mi} [T]^{mi} [v]

${^e_e [T]} {^e[v]}$

Dónde ${^e_e [T]}$ es un $N\times N$ matriz y ${^e[v]}$ es una longitud $N$ vector columna, cuyos componentes se describen arriba.

_{mi}^{mi} [T] = (\begin{matrix} _{mi}^{mi} [T]_{11} & \dots & _{mi}^{mi} [T]_{1 norte} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ _{mi}^{mi} [T]_{norte 1} & \dots & _{mi}^{mi} [T]_{norte norte} \end{matrix}) = (\begin{matrix} ⟨ {mi}_{1} | T | {mi}_{i} ⟩ & \dots & ⟨ {mi}_{1} | T | {mi}_{norte} ⟩ \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ⟨ {mi}_{norte} | T | {mi}_{1} ⟩ & \dots & ⟨ {mi}_{norte} | T | {mi}_{norte} ⟩ \end{matrix})

${^e_e [T]} = \begin{pmatrix} {^e_e [T]_{11}} && \ldots && {^e_e [T]_{1N}}\\ \vdots && \ddots && \vdots\\ {^e_e [T]_{N1}} && \ldots && {^e_e [T]_{NN}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle e_1 |T|e_i\rangle && \ldots && \langle e_1 |T | e_N\rangle\\ \vdots && \ddots && \vdots\\ \langle e_N|T |e_1\rangle && \ldots && \langle e_N |T|e_N\rangle \end{pmatrix}$

^{mi} [v] = (\begin{matrix} ^{mi} [v]_{1} \\ ⋮ \\ ^{mi} [v]_{norte} \end{matrix}) = (\begin{matrix} ⟨ {mi}_{1} | v ⟩ \\ ⋮ \\ ⟨ {mi}_{norte} | v ⟩ \end{matrix})

${^e[v]} = \begin{pmatrix} {^e[v]_1} \\ \vdots \\ {^e[v]_N} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle e_1 |v\rangle \\ \vdots \\ \langle e_N |v\rangle \end{pmatrix}$

Discusión

Tanto las expresiones abstractas como las concretas tienen su utilidad. La expresión abstracta es útil para manipulaciones y exploraciones teóricas, mientras que la expresión concreta es mejor para encontrar soluciones numéricas reales a problemas. Se podría argumentar que la representación de coordenadas es intuitivamente más clara, pero yo diría que la representación sin coordenadas brinda más flexibilidad y que es mejor si uno puede generar tanta intuición para las expresiones abstractas como para las expresiones de coordenadas.

Respuesta directa a la pregunta

Para responder concretamente a la pregunta: "¿Qué se entiende por componentes de un operador?".

La respuesta intuitiva es que los componentes de un operador son los elementos de la matriz del operador cuando se representa como una matriz con respecto a una base particular. Matemáticamente, los componentes de un operador son los resultados escalares de apretar un operador entre un sujetador y un ket. Específicamente,

_{mi}^{mi} [T]_{i j} = ⟨ {mi}_{i} | T | {mi}_{j} ⟩

${^e_e [T]_{ij}} = \langle e_i |T|e_j\rangle$

Este es el $i, j$ componente de $T$ con respecto a la base $\{|e_i\rangle\}$ .

Una interpretación geométrica

Una interpretación geométrica para los componentes de un operador:

_{mi}^{mi} [T]_{i j} = ⟨ {mi}_{i} | T | {mi}_{j} ⟩

${^e_e [T]_{ij}} = \langle e_i | T | e_j\rangle$

Podemos ver eso ${^e_e [T]_{ij}}$ nos da la $i^{th}$ componente de $|e'_j\rangle = T|e_j\rangle$ . Es decir, ¿cuánto cuesta $T$ sesgar el $|e_j\rangle$ vector base en el $|e_i \rangle$ dirección.

notas al pie

*También es importante para el uso de la resolución de la identidad que puede llevar el operador $(|e_i\rangle \langle e_j|$ y "dividirlo" para que el ket de la izquierda se "pegue" a lo que sea que esté a la izquierda de la resolución y el sostén de la derecha se "pegue" a lo que sea que esté a la derecha. Para probar esto, necesita definir algunas cosas y probar algunas cosas sobre los paréntesis. No lo hago aquí, pero solo quiero decir que hay un poco más debajo del capó que se ve a simple vista. Esta fluidez de paréntesis (y la capacidad de no preocuparse por ellos) es la otra cosa que hace que la notación de Dirac sea tan buena.

**Y, de hecho, la mayoría de los autores nunca escriben ni los presub ni los superíndices ni los corchetes ni nada. Lo que escribo como ${^e_e[T]_{ij}}$ será visto como $T_{ij}$ . Si bien por lo general está claro en qué base estamos trabajando por el contexto, puede ser confuso para las personas nuevas en el estudio entender la diferencia entre $T$ y $T_{ij}$ sin la notación adicional que he incluido. De ahí esta pregunta.

Filip Milovanović · Answer 2

¿Hay una interpretación geométrica para esto?

Sí. Sin ser demasiado riguroso aquí, si identifica un operador con una matriz y un ket con un vector de columna, luego del álgebra lineal, cuando multiplica una matriz con un vector de columna de base (asumiendo la base estándar), simplemente selecciona el columna en la matriz correspondiente al índice de la entrada distinta de cero. P.ej

METRO {\hat{mi}}_{1} = [\begin{matrix} a & b \\ C & d \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a \\ C \end{matrix}] = {\vec{ε}}_{1},

$M \hat e_1 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} = \vec\varepsilon_1,$

METRO {\hat{mi}}_{2} = [\begin{matrix} a & b \\ C & d \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}] = {\vec{ε}}_{2},

$M \hat e_2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix} = \vec\varepsilon_2,$

eran $\vec\varepsilon_1$ & $\vec\varepsilon_2$ son los transformados $\hat e_1$ & $\hat e_2$ , respectivamente. En otras palabras, las columnas de la matriz son los nuevos vectores base, expresados en componentes base estándar. La acción de la matriz puede entenderse como una reorientación y un reescalado de los ejes de coordenadas. Transformar un vector lo lleva a su lugar correspondiente en la nueva base.

Tenga en cuenta que un vector $\vec v = (x, y)$ Se puede escribir como $\vec v = x \hat e_1 + y \hat e_2$ , o en notación matricial:

[\begin{matrix} X \\ y \end{matrix}] = X [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + y [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

y entonces

METRO [\begin{matrix} X \\ y \end{matrix}] = X METRO [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + y METRO [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] = X {\vec{ε}}_{1} + y {\vec{ε}}_{2}

$M \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = xM \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + yM \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = x \vec\varepsilon_1 + y \vec\varepsilon_2$

Puede hacer lo mismo con los vectores base transformados, que a su vez recuperan la expresión sobre la que preguntó.

Si

A = a_{i j} = a_{(r o w) (C o yo)} = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}]

$A = a_{ij} = a_{(row)(col)} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$

entonces el $\color{red}{j=1}$ caso, iterando sobre $i$ )

A {\hat{mi}}_{1} = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix}] = a_{11} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + a_{21} [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] = a_{11} {\hat{mi}}_{1} + a_{21} {\hat{mi}}_{2}

$A \hat e_{\color{red}1} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \end{bmatrix} = a_{1\color{red}1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + a_{2\color{red}1} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = a_{1\color{red}1} \hat e_1 + a_{2\color{red}1} \hat e_2$

y el $\color{red}{j=2}$ caso, iterando sobre $i$ )

A {\hat{mi}}_{2} = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix}] = a_{12} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + a_{22} [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] = a_{12} {\hat{mi}}_{1} + a_{22} {\hat{mi}}_{2}

$A \hat e_{\color{red}2} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \end{bmatrix} = a_{1\color{red}2} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + a_{2\color{red}2} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = a_{1\color{red}2} \hat e_1 + a_{2\color{red}2} \hat e_2$

En otras palabras

A | {mi}_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{norte} a_{i j} | {mi}_{i} ⟩

$A|e_j\rangle = \sum_{i=1}^n a_{ij}|e_i\rangle$

es corto para

A | {mi}_{1} ⟩ = a_{11} | {mi}_{1} ⟩ + a_{21} | {mi}_{2} ⟩ A | {mi}_{2} ⟩ = a_{12} | {mi}_{1} ⟩ + a_{22} | {mi}_{2} ⟩

$A|e_{\color{red}1}\rangle = a_{1\color{red}1}|e_1\rangle + a_{2\color{red}1}|e_2\rangle \\ A|e_{\color{red}2}\rangle = a_{1\color{red}2}|e_1\rangle + a_{2\color{red}2}|e_2\rangle$

(Nota: en su pregunta, originalmente iteró incorrectamente sobre j en la suma).

Por cierto, tratar los sostenes como vectores de fila, hacer $\hat e_i^T M$ elige una fila y $\hat e_i^T M \hat e_j$ elige el $m_{ij}$ componente:

[\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} {metro}_{11} & {metro}_{12} \\ {metro}_{21} & {metro}_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] = {metro}_{12}

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = m_{12}$

Entonces, $a_{ij} = \langle e_i|A|e_j\rangle$ .

ytlu · Answer 3

La forma de un operador expresada bajo vectores base es una matriz. Los "componentes del operador" son los elementos de la matriz.

youpilat13 · Answer 4

Elementos de matriz de un operador

Lo que está describiendo es lo que se llama los componentes de la matriz de un operador, no sus componentes. Un operador lineal en un $d$ El espacio dimensional de Hilbert se puede describir completa y consistentemente especificando el $d\times d$ productos internos $\langle e_i\vert A\vert e_j\rangle$ en cualquier base ortonormal completa $\{e_i\}$ dónde $i,j=1,2,...,d$ . Estos números pueden ser vistos como formando un $d\times d$ matriz con su $ij^\mathrm{th}$ componente $A_{ij}$ dada por $\langle e_i\vert A\vert e_j\rangle$ . Entonces, naturalmente, la $\langle e_i\vert A\vert e_j\rangle$ s se llaman los elementos de la matriz del operador $A$ . Una vez que especifique estos elementos de la matriz en una base dada, por supuesto, puede representar el operador de una manera independiente de la base como $A=\sum_{i,j}A_{ij} \vert i\rangle\langle j\vert$ .

No creo que haya una forma independiente del contexto de atribuirles un significado geométrico.

Componentes de un operador

Curiosamente, hay un sentido en el que puede hablar sobre los componentes de un operador definido sobre el espacio de Hilbert si lo desea.

El conjunto de todos los operadores en un espacio de dimensión de Hilbert $d$ formar un $2d^2$ espacio vectorial dimensional propio sobre el campo de números complejos con el producto interno de dos operadores $A, B$ (que son vectores en este espacio vectorial de operadores) viene dada por la traza $\mathrm{Tr}(B^\dagger A)$ . Por lo tanto, puede elegir un conjunto base de $2d^2$ operadores ortonormales $O_i$ para este espacio vectorial de operadores y puede describir completa y consistentemente un operador $A$ especificando su expansión en la base establecida como $A=\sum_i \mathrm{Tr}(O_i^\dagger A)O_i$ . Ahora, puede tratar el $\mathrm{Tr}(O_i^\dagger A)$ como los componentes del operador $A$ en la base $\{O_i\}$ .

Cosmas Zachos · Answer 5

Seguramente te lo enseñaron $A_{ij}\equiv \langle e_i|A|e_j\rangle$ , así como

I = \sum_{i = 1}^{norte} | {mi}_{i} ⟩ ⟨ {mi}_{i} | .

${\mathbb I}= \sum_{i=1}^n |e_i\rangle \langle e_i| ~~.$ Como consecuencia,

I A | {mi}_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{norte} | {mi}_{i} ⟩ A_{i j},

${\mathbb I} A|e_j\rangle = \sum_{i=1}^n |e_i\rangle A_{ij},$ por lo que su expresión que corregí,

A | {mi}_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{norte} A_{i j} | {mi}_{i} ⟩ .

$A|e_j\rangle = \sum_{i=1}^n A_{ij}|e_i\rangle ~.$

Los componentes (elementos de la matriz en una base) son números que pueden colocarse en cualquier lugar en lugar de vectores. Multiplican en matriz todos los componentes de un vector para obtener todos los componentes del vector de imagen lineal.

Es simplemente álgebra lineal, sin apenas más significado que la operación estándar de una matriz en vectores: rotaciones, reflexiones, cortes y escalas, extendidas al dominio complejo.

Tomas Fritsch · Answer 6

¿Cuáles son estos "componentes" de los operadores que obtengo? ¿Hay una interpretación geométrica para esto?

Ya has escrito lo que obtienes cuando el operador $A$ opera sobre una base vectorial $|e_j\rangle$ :

$A | {mi}_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{norte} A_{i j} | {mi}_{i} ⟩$ $A|e_j\rangle = \sum_{i=1}^n A_{ij}|e_i\rangle$

Podemos representar al operador $A$ por su matriz (con elementos de matriz $A_{kl}=\langle e_k|A|e_l\rangle$ ) y los estados base $|e_k\rangle$ por vectores columna (con $1$ en fila $k$ , y $0$ en otra parte). Usando la multiplicación de matrices obtenemos:

(\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 j} & \dots & A_{1 norte} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 j} & \dots & A_{2 norte} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{j 1} & A_{j 2} & \dots & A_{j j} & \dots & A_{j norte} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{norte 1} & A_{norte 2} & \dots & A_{norte j} & \dots & A_{norte norte} \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{1 j} A_{2 j} ⋮ A_{j j} ⋮ A_{norte j} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & \color{red}{A_{1j}} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & \color{red}{A_{2j}} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \color{red}{\vdots} & & \vdots \\ A_{j1} & A_{j2} & \cdots & \color{red}{A_{jj}} & \cdots & A_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \color{red}{\vdots} & & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & \color{red}{A_{nj}} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ \color{red}{1} \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \color{red}{A_{1j} \\ A_{2j} \\ \vdots \\ A_{jj} \\ \vdots \\ A_{nj}} \end{pmatrix}$

Así que tienes una interpretación geométrica de la $j$ ª columna de los elementos de la matriz de $A$ . Son los componentes vectoriales de $A|e_j\rangle$ en la base $\{|e_1\rangle, ..., |e_n\rangle\}$ .

¿Qué se entiende por los "componentes" del operador?

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Zumbido

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Jagerber48

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Expansión de un operador en componentes

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Una interpretación geométrica

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Filip Milovanović

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Cosmas Zachos

Tomas Fritsch

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