¿Cómo se usan las matrices para representar cantidades y cuál es el significado de una matriz?

Así que estoy leyendo este texto sobre Mecánica Cuántica, y pasa por algunos capítulos que entiendo bastante bien, incluida la probabilidad. Pero luego dice que todas las cantidades, como la posición y la energía de un objeto, están representadas en una matriz, y que las cantidades tienen distribuciones de probabilidad asociadas. Entiendo esto, aunque no tengo claro si estamos hablando de matrices m-by-n completas o solo vectores. Si son vectores, sí, estoy algo familiarizado con eso. Pero si no, ¿cómo se usa una matriz m-by-n completa para representar una cantidad?

Y luego más adelante, dice que ⟨ METRO ⟩ es la media de una matriz, pero no dice qué es eso. ¿Es el promedio de todas las coordenadas en la matriz, por lo que es

1 metro norte ∑ ( i , j ) ∈ ⌜ metro ⌝ × ⌜ norte ⌝ a i j ,
¿O se supone que cada una de las columnas representa cantidades separadas y luego supongo que la media es un vector de las medias de las columnas?

La única guía que da el texto a este respecto es "Algunas de las reglas básicas de la mecánica cuántica involucran relaciones simples entre cantidades, expresadas en términos de matrices, y relaciones correspondientes entre valores medios. Considere una cantidad representada por una matriz METRO . Dejar ⟨ METRO ⟩ denote su valor medio. Para cualquier número z , la matriz z METRO representa la cantidad original multiplicada por z . Su valor medio es ⟨ z METRO ⟩ = z ⟨ METRO ⟩ ." Y así sucesivamente. Pero en ninguna parte define la media de una matriz, simplemente salta a esta notación. Algunas búsquedas rápidas en la web mostraron que no parece haber ningún consenso sobre lo que significa la media de una matriz que representa una cantidad.

Mire los valores esperados. Está viendo un valor esperado que, desafortunadamente, también se llama la media para relacionar los resultados de la mecánica cuántica con los de la mecánica estadística.
Aprenda sobre los operadores lineales en el contexto de los espacios vectoriales lineales. Luego, comprenda cómo se pueden representar los operadores lineales mediante matrices una vez que elija una base para el espacio vectorial lineal. Estas ideas se trasladan a la mecánica cuántica, donde se trabaja con espacios de Hilbert (que son espacios vectoriales lineales de dimensión infinita con algunas condiciones adicionales).
@suresh, sé sobre operadores lineales y cómo se identifican con matrices. Simplemente no sé la conexión entre eso y la física.
DE ACUERDO. La idea clave es que todas las cantidades físicas, como el momento, la posición y la energía, se realizan en QM como operadores hermitianos que actúan sobre algún espacio de Hilbert. Elegir una base los convierte típicamente en operadores diferenciales lineales o matrices de dimensión infinita.

Respuestas (1)

Descargo de responsabilidad en la parte inferior. Supongo que estamos trabajando con el caso infinito (posición continua). Algunas cosas que pueden ayudarte:

  1. En mecánica cuántica, ⟨ A ^ ⟩ generalmente se define como ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | A ^ ψ ⟩ . si no te dan ψ no puedes encontrar ⟨ A ^ ⟩ , lo que explicaría su dificultad para encontrar una definición. No se lo conoce como el promedio, por lo general, se lo conoce como el valor esperado del operador sobre psi.
  2. Con respecto al operador de posición, la página de wikipedia afirma que está motivado por el hecho de que la posición x esperada debería ser: ⟨ X ^ ⟩ = ∫ X | ψ ( X ) | 2 d X = ∫ ψ ∗ X ψ d X = ∫ ψ ∗ X ^ ψ d X = ⟨ ψ | X ^ | ψ ⟩ , dónde X ^ es el operador definido en la representación de posición para ser X ^ ψ ( X ) = X ψ ( X ) .
  3. Creo que hay otras motivaciones para el puesto de operador. Una característica que tiene es que si | X ⟩ es un vector propio de X ^ , entonces el producto interior ⟨ X | ψ ⟩ te da el valor de | ψ ⟩ en la posición | X ⟩ . | X ⟩ en la representación de posición en este caso es una función delta, X ( X ) = d ( X − X 0 ) , de modo que ⟨ X | ψ ⟩ = ψ ( X 0 ) , que es perfecto porque selecciona un valor agudo de ψ como se desee.

La rareza conceptual y el hecho de que estoy siendo tan inespecífico (en términos de | ψ ⟩ en lugar de ψ ( X ) ) es porque estás trabajando en un espacio vectorial (de todos ψ ) y puede cambiar la base a voluntad, por lo que la representación de la posición realmente no es fundamental (matemáticamente, al menos, no estoy tan seguro físicamente).

Entonces, versión corta:

  1. ⟨ A ^ ⟩ = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ = ∫ ψ ∗ ( X ) A ^ ψ ( X ) d X (el último solo se mantiene en la representación de posición)

  2. X ^ es un operador (matriz en el caso de dimensión finita), sus vectores propios | X ⟩ son vectores, y puedes usar el producto interno ⟨ X | ψ ⟩ para seleccionar el valor de la función de onda en la posición | X ⟩ .

Descargo de responsabilidad: todavía estoy en un terreno muy, muy, muy inestable en QM, así que corríjame si me equivoco.

No veo nada malo en esto. Para resumir para el OP: si piensa en los operadores como matrices, la "media" (que todos los demás libros que he visto llaman "valor de expectativa") es la multiplicación a la izquierda por un vector de fila acordado tácitamente y la multiplicación a la derecha por el vector columna correspondiente.
Hombre, años después, sé un montón más de matemáticas, y todavía tengo cero idea de lo que dice esta respuesta. Es extraño que un libro que dice que solo necesita saber un poco de álgebra lineal y cálculo, sea ilegible para una persona que sabe álgebra lineal y análisis avanzados. Creo que los físicos se engañan un poco acerca de la cantidad de información de fondo a la que se refieren cuando dicen cosas.
¿Cómo se usan las matrices para representar cantidades y cuál es el significado de una matriz?
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