¿Cuándo un operador hermitiano tiene elementos de matriz reales?

Question

¿Cuándo un operador hermitiano tiene elementos de matriz reales?

Física
operadores
espacio de hilbert
álgebra lineal
números complejos
elementos de matriz

Cuántico

Usaré la notación de freno, pero mi pregunta no es específica de la mecánica cuántica. En cambio, estaría interesado en una respuesta general para operadores en algún espacio de Hilbert. Dejar $H$ sea un operador hermitiano con estados propios $|i\rangle$ , de modo que $H |i\rangle = E_i |i\rangle$ , donde algunos valores propios posiblemente pueden ser degenerados. Ahora considere otro operador hermitiano $A$ . Este operador se puede representar como una matriz en la base $\{|i\rangle\}$ de los vectores propios de $H$ , con elementos

A_{i j} = ⟨ i | A | j ⟩

$A_{ij} = \langle i|A|j \rangle$ Hermiticidad de

A

$A$ entonces requiere

A_{j i} = A_{i j}^{*}

$A_{ji} = A_{ij}^*$ . En general, sin embargo, estos elementos de la matriz pueden ser complejos. Mi pregunta es la siguiente: ¿Es posible formular una condición sobre

A

$A$ , probablemente en relación con

H

$H$ , tal que los elementos de la matriz de

A

$A$ en la base formada por los vectores propios de

H

$H$ Son reales,

A_{j i} = A_{i j}

$A_{ji} = A_{ij}$ , si se cumple esta condición?

Creo que en algunas situaciones una simple multiplicación por un factor de fase puede ser suficiente. Asumiendo el $A_{ij}$ son complejos, se puede escribir

A_{i j} = | A_{i j} | {mi}^{i ϕ_{i j}}

$A_{ij} = |A_{ij}| \, e^{i \phi_{ij}}$ Ahora considere transformar a nuevos vectores base dados por

| i^{'} ⟩ = e^{i ν_{i}} | i ⟩

$|i'\rangle = e^{i \nu_i} |i\rangle$ . Estos siguen siendo estados propios de

H

$H$ y los elementos de la matriz de

A

$A$ en esta nueva base están dadas por

A_{i j}^{'} = | A_{i j} | {mi}^{i (ϕ_{i j} + v_{j} - v_{i})}

$A_{ij}' = |A_{ij}| \, e^{i (\phi_{ij} + \nu_j - \nu_i)}$ Así que si hay una solución para el

ν_{i}

$\nu_i$ al conjunto de

n^{2}

$n^2$ ecuaciones (donde

n

$n$ es el número de estados propios de

H

$H$ , entonces dimensión del espacio de Hilbert) dada por

ϕ_{i j} + v_{j} - v_{i} = 0,

$\phi_{ij} + \nu_j - \nu_i = 0,$ entonces el operador

A

$A$ puede ser representado por una matriz real en esa base. Creo que tal solución existe en el caso en que las fases satisfacen la relación

ϕ_{i j} + ϕ_{j k} = ϕ_{i k}

$\phi_{ij} + \phi_{jk} = \phi_{ik}$ . Sin embargo, no creo que las fases de un operador general

A

$A$ satisface necesariamente esta condición. Si no lo hacen, es posible que no haya una solución para el sistema de ecuaciones ya que hay

n^{2}

$n^2$ limitaciones, pero sólo

n

$n$ Variables

ν_{i}

$\nu_i$ para resolver.

¿Existe una relación general entre $A$ y $H$ que conduce a una representación de $A$ en términos de una matriz con elementos reales?

Respuestas (1)

¿Cuándo un operador hermitiano tiene elementos de matriz reales?

Stratiev · Answer 1

no creo que lo consigas $n^2$ ecuaciones únicas, ya que solo los elementos fuera de la diagonal pueden ser complejos. Además, solo debe considerar los que están fuera de la diagonal superior, ya que los que están fuera de la diagonal inferior son solo sus complejos conjugados. Eso te deja con un conjunto total de $\frac{n(n-1)}{2}$ etapas $\phi_{ij}$ . Reescalando el $n$ vectores base por una fase arbitraria también te da $\frac{n(n-1)}{2}$ posibilidades de las diferencias $\nu_i - \nu_j$ .

Por ejemplo, tome el caso $n=3$ . tenemos las fases $\phi_{12}, \phi_{13}, \phi_{23}$ para los elementos superiores fuera de la diagonal y menos aquellos para los elementos inferiores fuera de la diagonal. Reescalando los elementos base, tenemos

ϕ_{12} = v_{1} - v_{2}, ϕ_{13} = v_{1} - v_{3}, ϕ_{23} = v_{2} - v_{3} .

$\phi_{12} = \nu_1 - \nu_2,\\ \phi_{13} = \nu_1 - \nu_3, \\ \phi_{23} = \nu_2 - \nu_3.$

EDITAR: como señaló el usuario @Dvij DC, este caso funciona desde $\frac{n(n-1)}{2}=n$ tiene solución cuando $n=3$ , es decir , el número de variables independientes es igual al número de ecuaciones para las diferencias. En dimensiones superiores, el número de ecuaciones será mayor que el número de variables independientes, por lo que, en general, esto no será posible a menos que las fases se elijan de forma específica.

Tienes razón en que habría $n(n-1)/2$ ecuaciones independientes, pero las variables independientes son sólo $n$ , el $n$ $\nu_i$ s. No puede asignar valores coherentes a $n$ $\nu_i$ s si desea asignar valores independientes a $n(n-1)/2$ $\Delta \nu_{ij}$ s. El caso de $n=3$ funcionaría porque $n(n-1)/2=n$ para $n=3$ . Avísame si me estoy perdiendo algo.
Sí, efectivamente, tienes toda la razón. Mi respuesta tal como está es incorrecta. Lo arreglaré ahora.
@Dvij DC Sí, me doy cuenta de que esto no responde realmente a la pregunta de OP después de la edición. ¿Es lo correcto en tal situación eliminar mi respuesta?
No estoy seguro tbh 😅 Pero deja un comentario especificando que el número de ecuaciones independientes sería $n(n-1)/2$ y no $n^2$ si decide eliminar su respuesta. No responde la pregunta de OP al precisar las condiciones en cuanto a cuándo un operador podría hacerse real, pero si no existen condiciones genéricas tan agradables, entonces tal vez esta sea la mejor respuesta. Personalmente, lo dejaría abierto hasta que un par de otros usuarios expresen su opinión.
Estoy de acuerdo en que el número de ecuaciones independientes se reduce a $n(n-1)/2$ , pero como ya se ha señalado, sólo hay $n$ variables y este método falla para $n > 3$ .

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