Renormalización, integrando momentos altos a la manera de Wilson

Encuentro toda la notación aquí un poco confusa ya que estamos hablando de modos de momento mientras usamos notación de espacio real (tal vez soy el único...). Para aclarar lo que está pasando, podemos cambiar al espacio de impulso en su lugar. Considere el término cuadrático en el exponencial:

$$\begin{align} \int d^4x \phi ^2 & = \int d^4x \int d^4k d^4k' \phi _k \phi ^\ast _{ k ' } e ^{ i ( k - k ' ) x } \\ & = \int d^4k \phi _k \phi _k ^\ast \\ & = \int _0 ^{ b \Lambda } d^4k \phi _k \phi _{ k} ^\ast + \int _{ b \Lambda } ^{ \Lambda } d^4k \phi _k \phi _k ^\ast \end{align}$$ Ahora podemos hacer claramente la división que los autores quieren hacer, $$\begin{equation} = \int _0 ^\Lambda ( \phi _k \phi _k ^\ast + \hat{\phi} _k \hat{\phi} _k ^\ast ) \end{equation}$$ Observe que el término cruzado se ha eliminado de la expresión.

Ahora, para ver por qué este no es el caso para el término cuartico, simplemente repita el procedimiento anterior. Encuentro,

$$\begin{equation} \int d^4x \phi ^4 = \int _0 ^{ b \Lambda } d^4k _1 d^4k _2 d^4k _3 \phi _1 \phi _2 \phi _3 \phi _{ 1 + 2 + 3} + \int _{b \Lambda } ^{ \Lambda } d^4k _1 d^4k _2 d^4k _3 \phi _1 \phi _2 \phi _3 \phi _{ 1 + 2 + 3} \end{equation}$$ El problema es que no podemos volver a dividir las integrales ya que podemos "elegir el rango" de $\phi _1 ,\phi _2 ,$y $\phi _3$el rango de $\phi _{ 1+2+ 3}$es indeterminado. Podemos por ejemplo tener $k _1 = b\Lambda / 2 , k _2 = b\Lambda / 2 , k _3 = b \Lambda /2$pero $k _{1+2+3} = 3 b \Lambda /2$. Por lo tanto, no podemos descartar los términos cruzados para ninguna interacción cuártica.

Nota: Fui descuidado aquí con los conjugados, pero estoy seguro de que entiendes la idea.

No estoy siendo preciso, pero moralmente:

Imagina que estuvieras integrando todos los modos por encima de una frecuencia$b\Lambda$. Considerar$\omega < b\Lambda < 3 \omega$.

un modo$\phi$con frecuencia$\omega$al cubo, tendrá alguna parte como modo de frecuencia$3 \omega$, desde:$\sin (3x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^3 (x)$. (Es más fácil de ver que${(e^{i \omega t})}^3 = e^{i 3 \omega t}$). Entonces$\phi^3$podría contener frecuencias por encima del "corte wilsoniano"$b \Lambda$por lo que uno tiene que tener cuidado con su producto interno con$\hat{\phi}$(recuerda, todavía tienes el$\int d^d k$) - no será idénticamente cero - por lo que no puede desechar esos términos.

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EDITAR: Ah, ahora me doy cuenta de que mi notación podría ser confusa. Pido disculpas. @JeffDror tiene una buena respuesta.

En esencia, recuerde que esos términos aún se están integrando en algunos conjuntos de momentos. Jeff ha mostrado claramente cómo la conservación del impulso (lo que da un$\delta$-función para los momentos que se están integrando) muestra que$\phi \hat{\phi}$se desvanecerá mientras que no se puede decir lo mismo para momentos más altos.

En cuanto a la generalización de mi argumento, tenga en cuenta que

$$\int d^d x \phi(x) \phi(x) \longrightarrow \int d^d k_1 d^d k_2 \phi(k_1) \phi(k_2) \delta(k_1 + k_2) = \int d^d k \phi(k) \phi(-k)$$ (El $-k$viene debido a la conservación de la cantidad de movimiento.)

Cuando se considera un término de orden superior

$$\int d^d x \phi(x) \phi(x) \phi(x) \phi(x) \longrightarrow \\ \int \; d^d k_1 \, d^d k_2 \, d^d k_3 \, d^d k_4 \; \phi(k_1) \phi(k_2) \phi(k_3) \phi(k_4) \delta(k_1 + k_2 + k_3 + k_4) \\ \neq \int d^d k_1 d^d k_2 \phi^2(k_1) \phi^2(k_2) \delta(k_1 + k_2)$$

El último término podría ser cero por argumentos similares al que hice anteriormente. Pero fíjate que no es igual a lo que empezaste . Espero que eso aclare la niebla.