¿De dónde vienen las correcciones derivadas en la renormalización de Wilson?

Question

¿De dónde vienen las correcciones derivadas en la renormalización de Wilson?

Física
integral de trayectoria
renormalización
teoría cuántica de campos
teoría del campo efectivo

federico

Sé que en el proceso de renormalización de Wilson se integran modos rápidos para definir una acción efectiva para el campo de modos bajos. Teniendo en cuenta phi a la cuarta teoría, es fácil ver cómo los términos cuadráticos y cuárticos se corrigen en 1 bucle. Estas correcciones conducen a la renormalización de los acoplamientos, pero no entiendo qué término en la integral de trayectoria de los modos rápidos conduce a la renormalización de la intensidad de campo Z. En otras palabras, ¿dónde están las interacciones derivadas?

Más precisamente. si defino $\bar{\phi_0} =\phi_0 + \hat{\phi}_0$ , en el cual $\hat{\phi}_0$ es el campo de modos rápidos, la integral de trayectoria sobre $\hat{\phi}_0$ es:

\int D {\hat{ϕ}}_{0} {mi}^{- \int d^{D} X [\frac{1}{2} (\partial {\hat{ϕ}}_{0})^{2} + \frac{1}{2} {metro}_{0}^{2} {\hat{ϕ}}_{0}^{2} + \frac{λ_{0}}{4!} ({\hat{ϕ}}_{0}^{4} + 4 ϕ_{0}^{3} {\hat{ϕ}}_{0} + 4 ϕ_{0} {\hat{ϕ}}_{0}^{3} + 6 ϕ_{0}^{2} {\hat{ϕ}}_{0}^{2})]}

$\int D\hat{\phi}_0 \, e^{-\int d^Dx [\frac{1}{2}(\partial\hat{\phi}_0)^2 +\frac{1}{2} m_0^2 \hat{\phi}_0^2+\frac{\lambda_0}{4!}( \hat{\phi}_0^4 + 4\phi_0^3\hat{\phi}_0 + 4 \phi_0\hat{\phi}_0^3 + 6 \phi_0^2\hat{\phi}_0^2)]}$

Considerando la acción libre como $S_0=\int d^Dx \, \frac{1}{2}(\partial\hat{\phi}_0)^2$ Puedo expandir la exponencial de esta manera:

\int D {\hat{ϕ}}_{0} {mi}^{- S_{0}} (1 - \frac{1}{2} {metro}_{0}^{2} {\hat{ϕ}}_{0}^{2} - \frac{λ_{0}}{4!} ({\hat{ϕ}}_{0}^{4} + 4 ϕ_{0}^{3} {\hat{ϕ}}_{0} + 4 ϕ_{0} {\hat{ϕ}}_{0}^{3} + 6 ϕ_{0}^{2} {\hat{ϕ}}_{0}^{2}) + \dots)

$\int D\hat{\phi}_0 \,e^{-S_0}(1-\frac{1}{2} m_0^2 \hat{\phi}_0^2 -\frac{\lambda_0}{4!}( \hat{\phi}_0^4 + 4\phi_0^3\hat{\phi}_0 + 4 \phi_0\hat{\phi}_0^3 + 6 \phi_0^2\hat{\phi}_0^2) + \dots)$ Ahora por ejemplo de

ϕ_{0}^{2} {\hat{ϕ}}_{0}^{2}

$\phi_0^2\hat{\phi}_0^2$ Obtengo la primera corrección a la función de 2 puntos y así sucesivamente. Para calcular

1 + Δ Z

$1+\Delta Z$ y escribe la acción efectiva como:

S_{mi F F} [ϕ_{0}] = \int d^{D} X [\frac{1}{2} (1 + Δ Z) (\partial ϕ_{0})^{2} + \frac{1}{2} ({metro}_{0}^{2} + Δ {metro}^{2}) ϕ_{0}^{2} + \frac{1}{4!} (λ_{0} + Δ λ) ϕ_{0}^{4} + . . .]

$S_{eff}[\phi_0]=\int d^Dx\,[\frac{1}{2}(1+\Delta Z)(\partial \phi_0)^2 +\frac{1}{2} (m_0^2+\Delta m^2)\phi_0^2+\frac{1}{4!}(\lambda_0 + \Delta \lambda)\phi_0^4 + ...]$

Necesito un término en la expansión que contenga $(\partial\phi_0)^2$ , ¿bien? ¿Dónde está?

Respuestas (1)

¿De dónde vienen las correcciones derivadas en la renormalización de Wilson?

knzhou · Answer 1

Las correcciones derivadas aparecen de la misma manera que de costumbre. Por ejemplo, los términos cuadráticos con derivadas se pueden escribir como $\phi f(\partial) \phi$ dónde $f(\partial)$ es alguna combinación de derivadas parciales, como $\partial^2 + m^2$ en la teoría del campo libre. El propagador correspondiente es $1/f(ip)$ .

Entonces, los términos derivados solo corresponden a la dependencia del momento no trivial del propagador. Puede calcular directamente el propagador en la imagen wilsoniana (es decir, tomando una expectativa sobre los modos rápidos). Cualquier dependencia no trivial de la cantidad de movimiento externa corresponde a los términos derivados.

En $\phi^4$ En teoría, no hay términos derivados cuadráticos creados en un bucle, porque el único diagrama que puede dibujar en realidad no tiene el momento externo que fluye a través del bucle. Pero los términos derivados aparecen en dos bucles; son totalmente genéricos.

¿De dónde vienen las correcciones derivadas en la renormalización de Wilson?

federico

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knzhou

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