¿De dónde viene el delta de cero δ(0)δ(0)\delta(0)?

Question

¿De dónde viene el delta de cero δ(0)δ(0)\delta(0)?

Física
discreto
integral de trayectoria
renormalización
teoría cuántica de campos
distribuciones-dirac-delta

ZachMcDargh

Es común cuando se evalúa la función de partición para un $O(N)$ modelo sigma no lineal para hacer cumplir el confinamiento al $N$ -esfera con funcional delta, tal que

Z = \int d [π] d [σ] d [π^{2} + σ^{2} - 1] Exp (i S (ϕ)),

$Z ~=~ \int d[\pi] d[\sigma] ~ \delta \left[ \pi^2 + \sigma^2 -1 \right] \exp (i S(\phi)),$ dónde

π

$\pi$ es un

N - 1

$N-1$ campo componente. Entonces, se evalúa la integral sobre

σ

$\sigma$ , matando al funcional delta. A mi entender, esto da lugar a un producto continuo de jacobianos,

\prod_{X = 0}^{L} \frac{1}{\sqrt{1 - π^{2}}} = Exp [- \frac{1}{2} \int_{0}^{L} d X registro (1 - π^{2})]

$\prod_{x=0}^L \frac{1}{ \sqrt{1 - \pi^2}} ~=~ \exp \left[- \frac{1}{2} \int_0^L dx \log (1 - \pi^2) \right]$ (donde ahora he puesto todo en una dimensión). Ahora, obviamente esto no tiene sentido, al menos porque hay unidades en el argumento de la exponencial. La forma en que realmente veo esto escrito es con una función delta evaluada en el origen,

Exp [- \frac{1}{2} \int_{0}^{L} d X registro (1 - π^{2}) d (X - X)] .

$\exp \left[- \frac{1}{2} \int_0^L dx \log (1 - \pi^2) \delta(x-x) \right].$ Veo que esto hace que las unidades funcionen, pero ¿qué significa eso realmente? ¿Cómo sabe la gente ponerlo allí? Sé

δ (0)

$\delta(0)$ a veces se puede entender como el volumen del espacio-tiempo. Sin embargo, en este caso, claramente tiene unidades de

1 / L

$1/L$ , por lo que presumiblemente se parece más a un volumen de espacio de momento. En una dimensión, ¿eso significa que puedo reemplazarlo con

1 / L

$1/L$ (hasta factores de

2

$2$ o

π

$\pi$ )?

En particular, he notado esto en los siguientes documentos:

Brezin, Zinn-Justin y Le Guillou, Renormalización de lo no lineal $\sigma$ modelo en $2+\epsilon$ dimensiones, Phys. Rev. D 14 (1976) 2615 ; ec. (4).
Kleinert y Chervyakov, Teoría de la perturbación para integrales de trayectoria de polímeros rígidos, arXiv:cond-mat/0503199 ; ec. (10).

Kardar hace algo similar en su libro Statistical Physics of Fields, pero simplemente lo llama $\rho$ .

Respuestas (1)

¿De dónde viene el delta de cero δ(0)δ(0)\delta(0)?

qmecanico · Answer 1

Esta fórmula sigue las reglas habituales de discretización heurística (aquí escritas en 1D):

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} i \in {1, \dots, norte}, X_{i} = i Δ ⟶ & X \in [0, L] \\ var discreta & continuación variedad, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} i\in\{1, \ldots,N\}, ~~x_i=i\Delta \qquad\longrightarrow\qquad&~x~\in~[0,L]\cr \text{discrete var.}\qquad\qquad\qquad &\text{cont. var.},\end{align} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & suma \sum_{i = 1}^{norte} ⟶ \int_{0}^{L} \frac{d X}{Δ} integral, \end{matrix}

$\text{sum}\qquad \sum_{i=1}^N \qquad\longrightarrow\qquad \int_0^L \! \frac{dx}{\Delta} \qquad\text{integral},\tag{2}$

\begin{matrix} (3) & "volumen" de la celda unitaria: Δ = \frac{L}{norte}, \end{matrix}

$\text{"volume" of unit cell:}\qquad \Delta ~=~\frac{L}{N}, \tag{3}$

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \frac{1}{Δ} d_{i, j} ⟶ & d (X_{i} - X_{j}) \\ Delta de Kronecker fct & Función delta de Dirac, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{1}{\Delta} \delta_{i,j} \qquad\longrightarrow\qquad& \delta(x_i-x_j) \cr \text{Kronecker delta fct}\qquad\qquad\qquad& \text{Dirac delta fct},\end{align} \tag{4}$

\begin{matrix} (5) & \frac{1}{Δ} ⟶ d (0), \end{matrix}

$\frac{1}{\Delta}\qquad\longrightarrow\qquad\delta(0), \tag{5}$

para $N\to \infty$ . Por lo tanto, formalmente,

\begin{matrix} (6) & F (X_{j}) = \sum_{i = 1}^{norte} d_{i, j} F (X_{i}) ⟶ \int_{0}^{L} d X d (X - X_{j}) F (X), \end{matrix}

$f(x_j)~=~\sum_{i=1}^N \delta_{i,j} ~f(x_i) ~~\longrightarrow~~ \int_0^L \! dx~\delta(x-x_j) ~f(x), \tag{6}$

y

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \prod_{i = 1}^{norte} Exp [F (X_{i})] = & Exp [\sum_{i = 1}^{norte} F (X_{i})] \\ ↓ \\ Exp [\int_{0}^{L} \frac{d X}{Δ} F (X)] = & Exp [d (0) \int_{0}^{L} d X F (X)] . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \prod_{i=1}^N \exp\left[f(x_i)\right] ~=~& \exp\left[\sum_{i=1}^Nf(x_i)\right] \cr\cr ~\downarrow~&\cr\cr \exp\left[\int_0^L \! \frac{dx}{\Delta}f(x)\right]~=~&\exp\left[\delta(0)\int_0^L \! dx~f(x)\right] .\end{align}\tag{7}$

¡Ay, esto es tan simple! Muchas gracias. Supongo que mi suposición de que esto sería proporcional a $1/L$ está mal entonces. ¿Sería realmente proporcional a algún tipo de corte de longitud de onda corta?

¿De dónde viene el delta de cero δ(0)δ(0)\delta(0)?

ZachMcDargh

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