Determinante de un propagador

Question

Determinante de un propagador

Física
integral de trayectoria
regularización
renormalización
teoría cuántica de campos
determinantes funcionales

usuario22710

Digamos que tengo una integral de camino $\int D \phi \exp(i S_0)$ . $S_0$ es la acción libre habitual

S_{0} = \frac{1}{2} \int ϕ (- ◻ - {metro}^{2}) ϕ = \frac{1}{2} \int ϕ {GRAMO}^{- 1} ϕ,

$S_0=\frac{1}{2}\int\phi (-\Box-m^2) \phi=\frac{1}{2}\int \phi G^{-1} \phi,$ y por el momento no me interesan las interacciones. Cuando hago esta integración, solo obtengo un término como

(det G)^{- 1 / 2}

$(\det G)^{-1/2}$ , que es la energía de punto cero. Normalmente no me importa y está absorto en la normalización de la integral de ruta.

Pero digamos que este propagador depende de un parámetro, y me gustaría mantener este determinante. ¿Cómo lo calculo realmente? Sé que puedo hacer el truco

(det GRAMO)^{- 1 / 2} = Exp (- \frac{1}{2} Tr registro GRAMO)

$(\det G)^{-1/2}=\exp(-\frac{1}{2}\text{Tr} \log G)$

pero luego tendría que calcular algo como (después de que Wick gire y vaya al espacio de impulso)

\int \frac{d^{d} k}{(2 π)^{d}} registro (\frac{1}{k^{2} + {metro}^{2}})

$\int \frac{d^d k}{(2 \pi)^d} \log(\frac{1}{k^2+m^2})$

que por supuesto diverge (porque tengo infinitos osciladores armónicos) y requiere algún tipo de renormalización. De ahí mi pregunta: ¿cómo se calcula tal determinante?

Profesor Legolasov

Considere cambiar el inverso del determinante por una integral de trayectoria sobre el campo escalar fermiónico (que viola las estadísticas de espín). Esto le dará reglas adicionales de Feynman y, por lo tanto, mantendrá la dependencia deseada del parámetro. Funciona bien para las teorías de calibre.

usuario22710

Pero seguiré estando en la misma situación, ¿no? No tengo interacciones, así que cambiaré una teoría libre de escalares por una teoría libre de fantasmas, pero aún necesitaría calcular la energía de punto cero

Profesor Legolasov

Sí, estás en lo correcto. Pero no puedo imaginar cómo su determinante puede ser físicamente significativo si no depende de los campos (lo que produciría la interacción con los fantasmas). Siempre puedes agregar un término constante al lagrangiano, ¿verdad? Este término producirá un factor indeterminado constante en la integral de trayectoria, que absorbe tu determinante.

usuario22710

¡Determinar esta consant sería mi objetivo! La razón por la que estoy interesado en esto es que estoy considerando una teoría de campo efectiva, en la que primero integro un campo y luego me quedo con otra integral de trayectoria. Entonces, absorber el determinante del propagador en la normalización no es algo que pueda hacer en principio.

usuario22710

Ok, encontré este physics.ucsd.edu/~mcgreevy/s13/215C-lectures.pdf . Aquí, en la sección 2.3.1, hace el cálculo y solo agrega un factor adicional de

k^{2}

$k^2$ en la integral, ya que de lo contrario el logaritmo tendría un argumento dimensional. De esta manera la integral está bien definida y converge si se toman suficientes derivadas. No estoy seguro de por qué se nos permite simplemente agregar un extra

k^{2}

$k^2$ en el logaritmo, aunque

Profesor Legolasov

Entonces, ¿por qué no cambiarías el determinante por fantasmas? La segunda integral de trayectoria debe contener los términos de interacción con el fantasma y, por lo tanto, podría evaluarla perturbativamente.

usuario22710

Pues entonces no hubiera mejorado mi situación en nada. Mi objetivo es obtener una acción efectiva para un campo, por lo que me gustaría tener solo un campo en mi camino integral.

Profesor Legolasov

Probablemente ayudaría si explica su problema en detalle y proporciona las fórmulas correspondientes.

Respuestas (2)

Determinante de un propagador

Considere cambiar el inverso del determinante por una integral de trayectoria sobre el campo escalar fermiónico (que viola las estadísticas de espín). Esto le dará reglas adicionales de Feynman y, por lo tanto, mantendrá la dependencia deseada del parámetro. Funciona bien para las teorías de calibre.
Pero seguiré estando en la misma situación, ¿no? No tengo interacciones, así que cambiaré una teoría libre de escalares por una teoría libre de fantasmas, pero aún necesitaría calcular la energía de punto cero
Sí, estás en lo correcto. Pero no puedo imaginar cómo su determinante puede ser físicamente significativo si no depende de los campos (lo que produciría la interacción con los fantasmas). Siempre puedes agregar un término constante al lagrangiano, ¿verdad? Este término producirá un factor indeterminado constante en la integral de trayectoria, que absorbe tu determinante.
¡Determinar esta consant sería mi objetivo! La razón por la que estoy interesado en esto es que estoy considerando una teoría de campo efectiva, en la que primero integro un campo y luego me quedo con otra integral de trayectoria. Entonces, absorber el determinante del propagador en la normalización no es algo que pueda hacer en principio.
Ok, encontré este physics.ucsd.edu/~mcgreevy/s13/215C-lectures.pdf . Aquí, en la sección 2.3.1, hace el cálculo y solo agrega un factor adicional de $k^2$ en la integral, ya que de lo contrario el logaritmo tendría un argumento dimensional. De esta manera la integral está bien definida y converge si se toman suficientes derivadas. No estoy seguro de por qué se nos permite simplemente agregar un extra $k^2$ en el logaritmo, aunque
Entonces, ¿por qué no cambiarías el determinante por fantasmas? La segunda integral de trayectoria debe contener los términos de interacción con el fantasma y, por lo tanto, podría evaluarla perturbativamente.
Pues entonces no hubiera mejorado mi situación en nada. Mi objetivo es obtener una acción efectiva para un campo, por lo que me gustaría tener solo un campo en mi camino integral.
Probablemente ayudaría si explica su problema en detalle y proporciona las fórmulas correspondientes.

David Vercauteren · Answer 1

Simplemente puede calcular la integral usando su método de regularización preferido (corte, dimensional, Pauli-Villars...), y si todo sale bien (lo cual no está garantizado), las divergencias no dependerán de su parámetro y eventualmente desaparecen cuando calculas cosas físicas. Si esto no sucede, tal vez su teoría simplemente esté mal definida.

Y en cuanto a añadir un factor extra de $k^2$ como se menciona en los comentarios, sabemos que agregar el rastro de $\ln k^2$ agregaría una constante irrelevante (para aplicaciones físicas) (que en la regularización dimensional es además cero), de modo que puede agregarla cuando lo desee.

Adán · Answer 2

Hasta donde yo sé, la forma más fácil de hacer la integración a mano es para dimensiones enteras (es decir, Mathematica te da la integral en términos de funciones hipergeométricas, pero eso no es realmente útil). Puede derivar la integral (con un corte duro $\Lambda$ ) con respecto a $m^2$ , realiza la integral, expande en $m/\Lambda$ y luego volver a integrar. Podría ser útil restar una constante $\int_k \ln k^2$ .

En el caso $d=3$ , deberías conseguir $\frac{\Lambda}{2\pi^2}m^2-\frac{m^3}{6\pi}$ . Tenga en cuenta que el primer término no es (necesariamente) problemático y puede tener una interpretación muy física. Por ejemplo, en el contexto de $N$ bosones relativistas en el límite $N\to\infty$ (un modelo bien conocido en materia condensada), este término corresponde a la renormalización del parámetro que conduce al sistema a través de la transición de fase entre la fase ordenada y desordenada.

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