Renormalización a diferentes escalas en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4

Mecanica clasica

Considere una analogía en un escenario clásico. Digamos que quiere estudiar algún sistema complejo, por ejemplo, un puente. Es muy complicado modelar completamente toda su dinámica, por lo que primero introduce una aproximación muy aproximada. Por ejemplo, decidimos que hay un único grado de libertad relevante. Por supuesto, este dof depende de lo que quieras estudiar exactamente; por ejemplo, si se enfoca en, digamos, la expansión térmica del puente, entonces el grado de libertad más importante podría ser su longitud o volumen. Si te estás enfocando en su integridad estructural, tomarías su curvatura vertical o algo así. Llame a este grado efectivo de libertad$x(t)$.

Una vez más, describiendo la dinámica completa de$x(t)$está fuera de nuestro alcance, al menos por ahora, así que nos contentamos con más aproximaciones. Por ejemplo, suponemos que$x(t)$no varía demasiado a lo largo de nuestros experimentos. En ese caso, cualquier Lagrangiano que describa su dinámica debe tomar la forma

$$L=c_0 \dot x^2+c_1 x+c_2x^2+\mathcal O(x^3)$$ dónde$c_0,c_1,c_2$son algunos coeficientes arbitrarios. (No tomamos derivadas más altas debido a Ostrogradsky ).

En este punto, cualquier predicción que calcule usando$L$dependerá de$c_i$. ¿Cuál es el valor de estos coeficientes? Bueno, necesitas experimentos. Pero no se puede medir el$c_i$directamente: los coeficientes en un Lagrangiano no son medibles. Lo que se puede medir, por ejemplo, es la posición de equilibrio de$x$. De hecho, si$x$es la longitud del puente, solo mides$x(t)$para diferentes valores de$t$y sacar el promedio. Y la predicción para la posición de equilibrio, dada$L$arriba, es$\langle x\rangle=-c_1/2c_2$. Así que mientras no puedas medir$c_1,c_2$directamente, puedes medir su cociente. Otro objeto que puedes medir fácilmente es la frecuencia de las oscilaciones de$x(t)$alrededor$\langle x\rangle$; de acuerdo con el Lagrangiano anterior, esta frecuencia es$\omega=\sqrt{c_2/c_0}$. Entonces, de nuevo, incluso si no puedes medir$c_0,c_2$directamente, puedes medir su cociente, midiendo la frecuencia$\omega$. Resumimos esto de la siguiente manera: los coeficientes de un lagrangiano no se pueden medir directamente, pero puede usar el lagrangiano para calcular predicciones, que son medibles, y luego usar esas predicciones para fijar el valor de sus coeficientes. Una vez que haya corregido todos los parámetros gratuitos, cualquier cálculo nuevo será una predicción real de su modelo, algo que puede comparar con los experimentos.

No hace falta decir que, en lugar de medir la posición y la frecuencia promedio, podríamos medir otros observables, como la energía o algo más. Estas predicciones también fijarán el valor de$c_i$, aunque la expresión para$c_i$cambiará. Eres libre de usar cualquier medible que quieras. Mientras no cometas un error algebraico, el modelo hará exactamente las mismas predicciones sin importar las elecciones que hagas. La forma algebraica de las predicciones cambiará; depende de los observables que hayas usado para corregir el$c_i$-- pero su valor numérico no lo hará.

Otro punto importante a destacar es el siguiente. Lo vimos arriba$\omega=\sqrt{c_2/c_0}$, por lo que es posible que desee reemplazar$c_2\to\omega^2c_0$en el lagrangiano. Realmente no deberías estar haciendo esto, por la siguiente razón. Digamos que aumenta su precisión y por lo tanto el "pequeño$x$La aproximación ya no es terriblemente buena. Así que introduces un término de orden superior en el Lagrangiano,$c_3x^3$. En esta situación, la relación$\omega=\sqrt{c_2/c_0}$ya no es cierto: el oscilador anarmónico tiene frecuencia$\omega^2\sim \omega_0^2+c_3^2$, dónde$\omega_0=\sqrt{c_2/c_0}$. Por supuesto,$\omega_0$ya no es medible: si mides la frecuencia del sistema, obtendrás$\omega$, no$\omega_0$. El objeto$\omega_0$ya no es útil, personalmente ni siquiera introduciría una notación para ello. Es irrelevante, prefiero limitarme a los coeficientes arbitrarios$c_i$, y verdaderos medibles como$\omega$.

Mecánica cuántica

Ahora veamos cómo funciona esto en el caso cuántico. Una vez más, queremos describir un sistema complejo. A diferencia de antes, ya no tenemos una buena imagen mental de lo que son las "dinámicas microscópicas". No tenemos un concepto útil de "puente cuántico" fundamental. Realmente no sabemos cuál es el sistema "verdadero". Solo tenemos la imagen efectiva y aproximada: asumimos que, cualquiera que sea la descripción correcta, una descripción efectiva debería funcionar, al menos para pequeñas energías. Así que introducimos algún grado de libertad "relevante"$\phi(x)$, y espero que brinde al menos una aproximación aproximada a la verdadera dinámica, sea lo que sea que eso signifique.

Una vez más, esperamos que tenga sentido decir que$\phi(x)$permanece "pequeño" durante nuestros experimentos para que una expansión efectiva

$$\mathcal L=c_0(\partial\phi)^2+c_1\phi+c_2\phi^2+\mathcal O(\phi^3)$$ tiene sentido. Al igual que en los ejemplos clásicos, los coeficientes$c_i$no son directamente medibles.

Algo que puedas medir, análogo a la frecuencia.$\omega$de antes, es la relación$c_2/c_0$. Mide esta relación de la siguiente manera. Primero, defina la función$\Pi(p^2)$como el inverso del valor esperado$\langle \phi^2\rangle$en el espacio de Fourier

$$\langle \phi(p)^2\rangle=\frac{1}{\Pi(p^2)}$$ Esta función se puede calcular a partir de$\mathcal L$, sumando todos los diagramas de Feynman irreducibles de una partícula con dos patas externas. Para que puedas expresar$\Pi(p^2)$como alguna función de$c_i$. A continuación, también puede probar [ref.1] que si$\Pi(p^2)$tiene alguna raíz de primer orden, $$\Pi(p^2)\propto(p^2-a)+\mathcal O((p^2-a)^2)$$ para algunos$a$, entonces en un laboratorio observarías una partícula puntual con masa$\sqrt a$, propagándose a través del espacio. Además, la parte imaginaria de$\Pi(a)$se convierte en el ancho de decaimiento de esta partícula. Entonces, en general, puede calcular la masa y la constante de descomposición en términos de$c_i$, y también medir estos parámetros, lo que le permite calcular el valor de$c_i$. Una vez que tenga el valor de estas constantes, puede hacer cualquier otra predicción que desee. En el ejemplo anterior, resulta que$a=c_2/c_0$, y$\Pi(p^2)$es puramente real, por lo que la partícula es estable y tiene masa$\sqrt{c_2/c_0}$. (Como en el caso clásico, no debe reemplazar$c_2\to m^2c_0$en el lagrangiano. La razón es más o menos la misma: si incluye términos de orden superior, la relación$m^2=c_2/c_0$ya no se sostiene, sino más bien$m^2\sim c_2/c_0+c_3$o algo así. De nuevo, puede definir$m_0^2=c_2/c_0$, pero esto sirve de poco, porque$m_0$ya no es medible. Personalmente, no encuentro que la "masa desnuda" sea un concepto útil en absoluto. Prefiero trabajar enteramente en términos de coeficientes arbitrarios$c_i$y cosas medibles como$m$, y nunca introduzca objetos "desnudos" e inconmensurables).

Como en el caso clásico, puede elegir otras cantidades medibles para fijar$c_i$. (En la práctica, medir la masa es particularmente conveniente porque es la interacción más relevante, en un sentido preciso, y por lo tanto es el parámetro que tiene la menor inexactitud). Como$\phi$es menos físico que$x$, realmente no hay razón para ceñirse a las condiciones "físicas". Puede elegir la prescripción que desee; después de todo, los coeficientes$c_i$no son directamente medibles, y$\phi$tiene poco significado por sí mismo. Mientras no cometas errores algebraicos, el modelo hará exactamente las mismas predicciones para una pregunta determinada.

Por ejemplo, la masa física, la que se mide en un laboratorio (espectroscopia o histogramas de Breit-Wigner), se define por la condición de$\Pi$que tiene una raíz de primer orden, es decir,

$$\Pi(m^2)=0,\qquad \Pi'(m^2)=1$$ Podrías, por ejemplo, redefinir $$\tilde\Pi(p^2)=\Pi(p^2+m^2-\mu^2)$$ tal que las condiciones se vuelven $$\tilde\Pi(\mu^2)=0,\qquad \tilde\Pi'(\mu^2)=1$$ Esto es solo un cambio de notación, el valor de$\langle \phi(p)^2\rangle$Se mantiene igual. La única diferencia es que ahora fijamos el valor de$c_i$en términos de$\mu^2$en lugar de$m^2$. Por supuesto,$m^2$es directamente medible, mientras que$\mu^2$es solo un parámetro arbitrario, sin significado físico y no medible directamente.

La elección de cómo fijar los parámetros libres.$c_i$en términos de alguna condición se conoce como elección de esquema . La elección "física" en términos de cantidades medibles como$m$se conoce como esquema on-shell . Otros esquemas también son útiles, incluso si no involucran parámetros que se puedan medir directamente. Ninguna predicción puede depender de la elección del esquema; sólo lo hacen los pasos intermedios.

Una pregunta natural es por qué uno querría expresar las cosas en términos de$\mu^2$en lugar de$m^2$. La respuesta es que, si bien este parámetro es arbitrario, puede hacer una elección inteligente que le simplifique las cosas. Por ejemplo, resulta que los llamados logaritmos principales [refs.2-5], es decir, la mayor potencia de un logaritmo que aparece en un orden dado en la teoría de perturbaciones, tienen una forma que está muy restringida por las condiciones de consistencia. . Por ejemplo, mediante el análisis dimensional y algunas otras propiedades de las teorías cuánticas sanas, se puede argumentar que siempre toman la forma$\sim\log^n(s/\mu^2)$, con$s$el centro de energía de la masa. Por lo tanto, si elige$\mu^2\sim s$, es decir, si toma el parámetro libre$\mu$para estar alrededor de las energías de sus experimentos, entonces los registros principales desaparecen y su aproximación de orden inferior se vuelve casi tan precisa como tener los registros principales para todos los órdenes en la teoría de la perturbación. Es por eso que tener un parámetro ajustable como$\mu$se vuelve útil. La masa física, la correspondiente a la posición del polo de$\langle \phi^2\rangle$es todavía$m^2$. Esta masa es medible y no depende de ninguna elección que pueda hacer. Su valor es único.

Si fuéramos capaces de calcular todos los observables en todos los órdenes en la teoría de perturbaciones, ejecutar acoplamientos sería completamente inútil. Pero no podemos. Entonces hacemos lo siguiente: si en un resultado de orden bajo dado, reemplazamos los acoplamientos en la carcasa por sus contrapartes en funcionamiento, como$m\to m(\mu)$, entonces estos resultados de orden bajo se vuelven casi tan precisos como tener correcciones de orden superior: los logaritmos grandes, para todos los órdenes en la teoría de la perturbación, se vuelven muy pequeños y, por lo tanto, su contribución es casi como ya se explicó.

Referencias

1. Sidney Coleman, notas de la conferencia, sección 19, https://arxiv.org/abs/1110.5013 .

2. Bjorken & Drell - Campos cuánticos relativistas, sección 19.15.

3. Schwartz - Teoría cuántica de campos y el modelo estándar, sección 23.1.

4. Srednicki - Teoría cuántica de campos, sección 27.

5. Weinberg - Teoría cuántica de campos, Vol.2, capítulo 18.