¿Cómo podemos usar series geométricas para calcular la suma de la función de Green sobre los efectos de bucle?

Question

¿Cómo podemos usar series geométricas para calcular la suma de la función de Green sobre los efectos de bucle?

Física
energía propia
renormalización
greens-funciones
teoría cuántica de campos

Libertad

Encontré la función de Green sumando sobre la inserción repetida de 1PI en Schwartz p.330:

\begin{aligned} i GRAMO (pag) & = \frac{i}{pag - metro} (i Σ (pag)) \frac{i}{pag - metro} + \frac{i}{pag - metro} (i Σ (pag)) \frac{i}{pag - metro} (i Σ (pag)) \frac{i}{pag - metro} + \dots \\ = \frac{i}{pag - metro} [1 + \frac{- Σ (pag)}{pag - metro} + {(\frac{- Σ (pag)}{pag - metro})}^{2} + . . .] \\ = \frac{i}{pag - metro} \frac{1}{1 + \frac{Σ (pag)}{pag - metro}} \\ = \frac{i}{pag - metro + Σ (pag)} \end{aligned}

$\begin{aligned} iG(\not p)&=\frac{i}{\not p-m}(i\Sigma(\not p))\frac{i}{\not p-m}+\frac{i}{\not p-m}(i\Sigma(\not p))\frac{i}{\not p-m}(i\Sigma(\not p))\frac{i}{\not p-m}+\cdots\\ &=\frac{i}{\not p-m}\left[1+\frac{-\Sigma(\not p)}{\not p-m}+\left(\frac{-\Sigma(\not p)}{\not p-m}\right)^2+...\right]\\ &=\frac{i}{\not p-m}\frac{1}{1+\frac{\Sigma(\not p)}{\not p-m}}\\ &=\frac{i}{\not p -m+\Sigma(\not p)} \end{aligned}$

Parece usar series geométricas asumiendo $|\frac{-\Sigma(\not p)}{\not p-m}|<1$ de 2ª línea a 3ª línea. No puedo entender cómo la suposición $\left|\frac{-\Sigma(\not p)}{\not p-m}\right|<1$ es válido para todos los casos.

Si entiendo correctamente, la renormalización de campo y la renormalización masiva se realizan en la página siguiente, de modo que $\Sigma(\not p)$ es 1PI de energía propia antes de la renormalización del campo. Por ejemplo, la energía propia de los electrones hasta $e^2$ el orden en la regularización dimensional es $\Sigma(\not p)=\frac{\alpha}{2\pi}\frac{\not p-4m}{\epsilon}$ . obviamente como $\epsilon \rightarrow 0$ , $|\frac{-\Sigma(\not p)}{\not p-m}|<1$ no parece aguantar.

¿Alguien puede explicar cómo puedo usar series geométricas para calcular la función de Green? ¿O es simplemente divergente y no puedo usar esto?

Tampoco entiendo la idea de 'inserción repetida de 1PI' porque parece que podemos contar con el efecto de bucle de una manera muy ordenada, pero creo que necesitamos pruebas para legitimar este conteo.

Respuestas (1)

¿Cómo podemos usar series geométricas para calcular la suma de la función de Green sobre los efectos de bucle?

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Algunas observaciones:

Recordar que $\Sigma(\not p)$ viene dada por la suma de todos los diagramas 1PI, y por lo tanto $\Sigma(\not p)=\frac{\alpha}{2\pi}\frac{\not p-4m}{\epsilon}$ no puede ser correcto: es un resultado incompleto. De hecho, también debe tener en cuenta los diagramas de contratérminos , lo que hace que $\Sigma(\not p)$ una función finita, independiente de $\epsilon$ (en el límite $\epsilon\to 0$ ). Esta función satisface
$Σ (metro) = Σ^{'} (metro) = 0$ $\Sigma(m)=\Sigma'(m)=0$ eso es, $Σ (pag) = O (pag - metro)^{2}$ $\Sigma(\not p)=\mathcal O(\not p-m)^2$

Esto a su vez implica que $\frac{\Sigma(\not p)}{\not p-m}<1$ al menos en un barrio de $\not p=m$ . El resumen de Dyson se entiende en el sentido de continuación analítica a una región más grande en la variable compleja formal $\not p$ .
La igualdad $G(\not p)=\frac{1}{\not p-m+\Sigma(\not p)}$ puede justificarse de forma no perturbativa, es decir, sin la reanudación de una serie divergente. Ver Itzykson & Zuber, Teoría cuántica de campos, capítulo 6-2-2 (en particular, ecuaciones 6.73 a 6.79) para más detalles. Véase también la entrada de Wikipedia Acción efectiva .
Si insistes en definir $\Sigma(\not p)$ a través del resumen de Dyson, entonces tiene razón en su escepticismo: de hecho, como está sumando una serie divergente, el orden de los términos afecta la suma misma. Se puede admitir que tal prescripción de ordenamiento es parte de la definición de la QFT (del mismo modo que una prescripción de regularización es otro ingrediente fundamental de la teoría). Una referencia interesante para esto es On Laplace-Borel Resumm of Dyson-Schwinger Equations .

Otras lecturas:

Para el uso de $\not p$ como variable compleja formal, consulte Normalización del campo de Spinor a partir de polos en el propagador . Para el comportamiento asintótico de $\Sigma(\not p)$ para $\not p\to\infty$ , en lugar de $\not p\to m$ , consulte ¿Existe algún límite conocido para el crecimiento de las funciones de correlación que interactúan? .

Aunque la acción efectiva no utiliza la reanudación de las divergencias, el contratérmino de lagrangiano ( $\delta L$ ) en exponente de acción efectiva contiene expansión perterbativa de alguna constante de acoplamiento, hasta donde yo sé. Tal vez puedas corregirme. Gracias.
@Libertad Hola. No hay contra-términos en la acción efectiva. Tal vez el artículo de wikipedia no sea la mejor referencia para esto; véase en cambio, por ejemplo, Itzykson & Zuber, Quantum field theory, capítulo 6.2.2 (en particular, ecuaciones 6-73 a 6.79).

¿Cómo podemos usar series geométricas para calcular la suma de la función de Green sobre los efectos de bucle?

Libertad

Respuestas (1)

AccidentalFourierTransformar

Libertad

AccidentalFourierTransformar

Renovación de la fuerza de campo en Peskin y Schroeder

¿Por qué a menudo se descuida la parte finita de la energía propia para definir la masa física?

Condiciones de renormalización de la ecuación de Callan-Symanzik

Renormalización sin masa de la teoría ϕ4ϕ4\phi^4 y λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

¿Los renacuajos contribuyen a la energía propia?

Polarización de vacío en QED: ¿por qué es importante para la renormalización?

Renormalización a diferentes escalas en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4

¿Signo del factor de vértice contratérmino (Srednicki)?

Ecuación de grupo de renormalización para funciones de Green

¿Cuáles son las fuentes de los infinitos en los cálculos de la teoría cuántica de campos (no renormalizados)?