Condiciones de renormalización de la ecuación de Callan-Symanzik

Question

Condiciones de renormalización de la ecuación de Callan-Symanzik

Física
renormalización
greens-funciones
teoría de la perturbación
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

fisioterapia

Supongamos que tenemos una enorme $\phi^4$ teoría, la función de correlación exacta de dos puntos se da como

GRAMO = \frac{i Z}{{pag}^{2} - {metro}_{r}^{2}} + términos regulares en {pag}^{2} = {metro}_{r}^{2}

$G=\frac{iZ}{p^2-m_r^2}+\text{terms regular at } p^2=m_r^2$ y si quiero aplicar la teoría de la perturbación renormalizada, encuentro

GRAMO = \frac{i}{{pag}^{2} - {metro}_{r}^{2} - Σ ({pag}^{2})}

$G=\frac{i}{p^2-m_r^2-\Sigma(p^2)}$ dónde

- i Σ ({pag}^{2})

$-i{\Sigma(p^2)}$ es la suma de todos los diagramas irreducibles de una partícula.

Entonces la condición de renormalización es

- i Σ ({pag}^{2}) |_{{pag}^{2} = {metro}_{r}^{2}} = 0

$-i{\Sigma(p^2)}|_{p^2=m_r^2}=0$ tal que tendrá un polo con residuo 1 en

p^{2} = m_{r}^{2}

$p^2=m_r^2$ .

Sin embargo, cuando derivamos la ecuación de Callan-Symanzik para la teoría sin masa, definimos la condición de renormalización como

GRAMO = \frac{i}{{pag}^{2}} en {pag}^{2} = - {METRO}^{2}

$G=\frac{i}{p^2} \quad\text{at }\quad p^2=-M^2$ dónde

M

$M$ es la escala de renormalización.

Hasta donde entendí la primera $G$ es exacta, también la segunda es exacta y para emparejarlas decimos

- i Σ ({pag}^{2}) |_{{pag}^{2} = {metro}_{r}^{2}} = 0

$-i{\Sigma(p^2)}|_{p^2=m_r^2}=0$ .

Pero la parte confusa es, en el caso sin masa, la exacta $G$ debería ser exactamente

GRAMO = \frac{i Z}{{pag}^{2}} + términos regulares en {pag}^{2} = 0

$G=\frac{iZ}{p^2}+\text{terms regular at } p^2=0$ y usando la teoría de la perturbación renormalizada deberíamos encontrar

GRAMO = \frac{i}{{pag}^{2} - Σ ({pag}^{2})}

$G=\frac{i}{p^2-\Sigma(p^2)}$ entonces la condición de renormalización es

- i Σ ({pag}^{2}) |_{{pag}^{2} = 0} = 0

$-i{\Sigma(p^2)}|_{p^2=0}=0$ Sin embargo, usamos

p = M

$p=M$ en lugar de

p = 0

$p=0$ . Esto es confuso y no entiendo por qué. Además, no entiendo si en el caso sin masa la función de correlación exacta de dos puntos es

GRAMO = \frac{i Z}{{pag}^{2}} + términos regulares en {pag}^{2} = 0

$G=\frac{iZ}{p^2}+\text{terms regular at } p^2=0$ ¿O no? Si se da así y si tenemos también

GRAMO = \frac{i}{{pag}^{2}} en {pag}^{2} = - {METRO}^{2}

$G=\frac{i}{p^2} \quad\text{at }\quad p^2=-M^2$ entonces son los terminos

(términos regulares en {pag}^{2} = 0) = 0 en {pag}^{2} = - {METRO}^{2}

$(\text{terms regular at } p^2=0 )=0\quad \text{ at } \quad p^2=-M^2$

Creo que la idea es que asumen que hay una escala de impulso $M$ donde la teoría se comporta exactamente como una teoría libre y ese punto como condición de renormalización pero cómo saben si existe tal punto.

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Condiciones de renormalización de la ecuación de Callan-Symanzik

Bruce Lee · Answer 1

Los campos escalares masivos no tienen singularidades en sus contratérminos, sin embargo, tienen singularidades cuando tomas $m^2 \to 0$ . Por ejemplo, considere el contratérmino $\delta_{\lambda}$ para la acción del campo escalar masivo

L = \frac{(\partial_{m} ϕ_{r})^{2}}{2} - \frac{(metro ϕ_{r})^{2}}{2} - \frac{λ ϕ_{r}^{4}}{4!} + \frac{d_{Z} (\partial_{m} ϕ_{r})^{2}}{2} - \frac{(d_{metro} ϕ_{r})^{2}}{2} - \frac{d_{λ} ϕ_{r}^{4}}{4!},

$L = \frac{(\partial_{\mu} \phi_r)^2}{2} - \frac{(m \phi_r)^2}{2} - \frac{\lambda \phi_r^4}{4!} + \frac{\delta_Z (\partial_{\mu} \phi_r)^2}{2} - \frac{(\delta_m \phi_r)^2}{2} - \frac{\delta_{\lambda} \phi_r^4}{4!},$

que hemos obtenido del lagrangiano desnudo

L = \frac{(\partial_{m} ϕ)^{2}}{2} - \frac{({metro}_{0} ϕ)^{2}}{2} - \frac{λ_{0} ϕ^{4}}{4!}

$L = \frac{(\partial_{\mu} \phi)^2}{2} - \frac{(m_0 \phi)^2}{2} - \frac{\lambda_0 \phi^4}{4!}$

al sustituir

ϕ = Z^{1 / 2} ϕ_{r}, d_{Z} = Z - 1, d_{metro} = {metro}_{0} Z^{2} - {metro}^{2}, d_{λ} = λ_{0} Z^{2} - λ .

$\phi = Z^{1/2} \phi_r, \quad \delta_Z = Z-1, \quad\delta_m = m_0Z^2 - m^2, \quad \delta_{\lambda} = \lambda_0 Z^2 - \lambda.$

Por la presente, puede definir las condiciones de renormalización como se indica en su pregunta. Ahora se puede realizar la regularización dimensional y utilizar la parametrización de Feynmann para obtener una expresión para $\delta_{\lambda}$ en $d=4$ :

d_{λ} = \frac{λ^{2}}{32 π^{2}} \int_{0}^{1} d X (\frac{6}{ϵ} - 3 γ + 3 registro 4 π - registro [{metro}^{2} - X (1 - X) 4 {metro}^{2}] - 2 registro {metro}^{2})

$\delta_{\lambda} = \frac{\lambda^2}{32\pi^2} \int_0^1 dx \left( \frac{6}{\epsilon} - 3\gamma + 3 \log{4\pi } - \log{[m^2 - x(1-x)4m^2]} - 2\log{m^2}\right)$

Es fácil ver que este contratérmino desaparece cuando tomas $m^2 \to 0$ . Como resultado, este esquema de renormalización no se puede utilizar cuando $m^2 \to 0$ .

Para evitar estas singularidades en los contratérminos, defina las condiciones de renormalización para el caso sin masa en algún momento espacial (no físico) $p$ con $p^2 = -M^2$ , en lugar de en el caparazón $p^2 = 0$ . La ventaja es que los contratérminos no explotan como se vio anteriormente.

Tenga en cuenta que, en general, esta es una buena receta (incluso para el caso masivo), ya que evita por completo la necesidad de definir las condiciones de renormalización en la masa en el caparazón. Ahora se pueden usar varios $n$ funciones de punto de Green para escribir y resolver la ecuación de Callan-Symanzik, de la cual se deriva la ecuación de flujo RG en términos de la escala de renormalización $M$ .

Condiciones de renormalización de la ecuación de Callan-Symanzik

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Bruce Lee

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