Renovación de la fuerza de campo en Peskin y Schroeder

Ciertamente tiene razón en que hay otros términos en la suma. Sin embargo, el término derivado es cero por las condiciones de renormalización para el campo escalar y se supone que los otros términos son pequeños (cuando$p^2$está lejos de$m^2$los diagramas como pequeños de todos modos). Para completar aquí la derivación:

Al realizar una suma infinita sobre$1PI$diagramas podemos escribir el propagador como

$$\begin{equation} \tag1 \frac{ i }{ p ^2 - m _0 ^2 + M ^2 ( p ^2 )} \end{equation}$$ dónde $- i M ^2$es el valor de todo $1PI$contribuciones.

El problema es que debido al teorema óptico si una partícula puede decaer significa que tendrá un componente imaginario para$M ^2$por lo que ya no podemos identificar la posición del polo con la masa. En cambio, definimos la masa de una partícula por:

$$\begin{equation} m ^2 - m _0 ^2 - \mbox{Re} ( M ^2 ( m ^2 ) ) = 0 \end{equation}$$

Usando la ecuación anterior, escribimos el propagador en términos de cantidades físicas como:

$$\begin{align} \tag2 \frac{ i }{ p ^2 - m ^2 - M ^2 ( p ^2 ) } & \approx \frac{ i Z }{ p ^2 - m ^2 + Z\mbox{Re} M ^2 ( m ^2 ) - ZM ^2 ( p ^2 ) } \end{align}$$ En este punto como dijiste ampliamos la corrección: $$\begin{equation} \mbox{Re} M ^2 ( p ^2 ) = \mbox{Re} M ^2 ( m ^2 ) + \frac{ d \mbox{Re} M ^2 }{ d p ^2 } \bigg|_{ p ^2 = m ^2 } \left( p ^2 - m ^2 \right) + ... \end{equation}$$ El término de primer orden se cancela en el propagador y el segundo término es cero debido a las condiciones de renormalización del campo escalar (ver ecuación 10.28 en Peskin). Así alrededor del polo podemos escribir aproximadamente: $$\begin{align} \frac{ i }{ p ^2 - m ^2 - M ^2 ( p ^2 ) } & \approx \frac{ i Z }{ p ^2 - m ^2 - iZ\mbox{Im} M ( p ^2 ) } \end{align}$$

Empezando desde

$$\begin{equation} \tag1 \mathcal{P}\sim\frac{ \mathrm{i} }{ p ^2 - m _0 ^2 + M ^2 ( p ^2 )} \end{equation}$$ y como señala Jeff, por el teorema óptico*, $M^2$(para una partícula que se desintegra) puede tener una parte imaginaria distinta de cero. Por lo tanto, se define la masa física $m$de la partícula, no a través $$\begin{equation} m ^2 - m _0 ^2 - M ^2 ( m ^2 ) = 0, \end{equation}$$ como se suele hacer, sino más bien a través $$\begin{equation} \tag2 m ^2 - m _0 ^2 - \mbox{Re}\, M ^2 ( m ^2 ) = 0. \end{equation}$$ Ahora $M^2(p^2)\tag3 = \mathrm{Re}\,M^2(p^2)+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Im}\,M^2(p^2).$

Expandiendo solo la parte real

$$\begin{equation} \tag4 \mbox{Re}\, M ^2 ( p ^2 ) = \mbox{Re}\, M ^2 ( m ^2 ) + \frac{ \mathrm{d}\, \mbox{Re}\, M ^2 }{ \mathrm{d} \,p ^2 } \bigg|_{ p ^2 = m ^2 } \left( p ^2 - m ^2 \right) + ... \end{equation}$$ y tapando ( $2$), ( $3$) y ( $4$) en nuestro propagador original ( $1$) encontramos

$$\begin{equation} \mathcal{P}\sim\frac{ \mathrm{i} }{ (p ^2 - m^2)\underbrace{\left(1-\frac{ \mathrm{d}\, \mbox{Re}\, M ^2 }{ \mathrm{d} \,p ^2 }\bigg|_{ p ^2 = m ^2 }\right)}_{Z^{-1}} -\mathrm{i}\cdot\mathrm{Im}\, M ^2 ( p ^2 )+\mathcal{O}\left((p ^2 - m^2)^2\right)} \\= \frac{ \mathrm{i}Z }{ (p ^2 - m^2) -\mathrm{i}Z\cdot\mathrm{Im}\, M ^2 ( p ^2 )+\mathcal{O}\left((p ^2 - m^2)^2\right)} \end{equation}$$ que es lo que queríamos mostrar.

$$\begin{equation} ----------- \end{equation}$$ *(Ver ecuación $(7.49)$PD)