Relatividad galileana en QM

Question

Relatividad galileana en QM

Yair M

Introducción

He estado tratando de mostrar que el generador de aumentos se puede escribir en forma de operador como se puede ver aquí , como:

B = \sum_{i} {metro}_{i} X_{i} (t) - t \sum_{i} {pag}_{i}

$B = \sum_i m_i x_i(t) - t \sum_i p_i$

Como recordatorio, las reglas de transformación son:

X \to X + V t pag \to pag + metro V

$x\to x+Vt\\ p\to p+mV$

Para lograr esto, utilicé el procedimiento que se muestra aquí , y parece que me encuentro con problemas de inconsistencia, que no puedo resolver.

derivación

En resumen, si tenemos un estado multipartícula descrito por:

| ψ ⟩ = | {pag}_{1}, {pag}_{2}, . ., {pag}_{norte} ⟩

$\left|\psi\right\rangle=\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle$ entonces un impulso debería actuar como:

T_{V} | {pag}_{1}, {pag}_{2}, . ., {pag}_{norte} ⟩ = | {pag}_{1} + {metro}_{1} V, {pag}_{2} + {metro}_{2} V, . ., {pag}_{norte} + {metro}_{norte} V ⟩

$T_V\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle=\left|p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\right\rangle$

En la posición base obtenemos:

\begin{aligned} T_{V} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{norte} ⟩ = {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d {pag}_{1} d {pag}_{2} . . d {pag}_{norte} \prod_{i = 1}^{norte} {mi}^{- i {pag}_{i} X_{i}} T_{V} | {pag}_{1}, {pag}_{2}, . ., {pag}_{norte} ⟩ \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d {pag}_{1} d {pag}_{2} . . d {pag}_{norte} \prod_{i = 1}^{norte} {mi}^{- i {pag}_{i} X_{i}} | {pag}_{1} + {metro}_{1} V, {pag}_{2} + {metro}_{2} V, . ., {pag}_{norte} + {metro}_{norte} V ⟩ \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d {pag}_{1}^{'} d {pag}_{2}^{'} . . d {pag}_{norte}^{'} \prod_{i = 1}^{norte} {mi}^{- i ({pag}_{i}^{'} - {metro}_{i} V) X_{i}} | {pag}_{1}^{'}, {pag}_{2}^{'}, . ., {pag}_{norte}^{'} ⟩ \\ = {mi}^{i \sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} V X_{i}} {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d {pag}_{1}^{'} d {pag}_{2}^{'} . . d {pag}_{norte}^{'} \prod_{i = 1}^{norte} {mi}^{- i {pag}_{i}^{'} X_{i}} | {pag}_{1}^{'}, {pag}_{2}^{'}, . ., {pag}_{norte}^{'} ⟩ \\ = {mi}^{i V \sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} X_{i}} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{norte} ⟩ = {mi}^{i METRO V X_{C metro}} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{norte} ⟩ \end{aligned}

$\begin{split} &T_V\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dp_1dp_2.. dp_N\prod_{i=1}^N e^{-ip_ix_i}T_V\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dp_1dp_2.. dp_N\prod_{i=1}^N e^{-ip_ix_i}\left|p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\right\rangle\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dp_1'dp_2'.. dp_N'\prod_{i=1}^N e^{-i\left(p_i'-m_iV\right)x_i}\left|p_1',p_2',..,p_N'\right\rangle\\ &=e^{i\sum_{i=1}^Nm_iVx_i}\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dp_1'dp_2'.. dp_N'\prod_{i=1}^N e^{-ip_i'x_i}\left|p_1',p_2',..,p_N'\right\rangle\\ &=e^{iV\sum_{i=1}^Nm_ix_i}\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle=e^{iMVX_{cm}}\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle \end{split}$

De manera similar podemos obtener:

\begin{aligned} T_{V} | {pag}_{1}, {pag}_{2}, . ., {pag}_{norte} ⟩ = {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d X_{1} d X_{2} . . d X_{norte} \prod_{i = 1}^{norte} {mi}^{i {pag}_{i} X_{i}} T_{V} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{norte} ⟩ = \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d X_{1} d X_{2} . . d X_{norte} \prod_{i = 1}^{norte} {mi}^{i {pag}_{i} X_{i}} | X_{1} + V t, X_{2} + V t, . ., X_{norte} + V t ⟩ \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d X_{1}^{'} d X_{2}^{'} . . d X_{norte}^{'} \prod_{i = 1}^{norte} {mi}^{i (X_{i}^{'} - V t) {pag}_{i}} | X_{1}^{'}, X_{2}^{'}, . ., X_{norte}^{'} ⟩ \\ = {mi}^{i \sum_{i = 1}^{norte} - V t {pag}_{i}} {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d X_{1}^{'} d X_{2}^{'} . . d X_{norte}^{'} \prod_{i = 1}^{norte} {mi}^{i {pag}_{i} X_{i}^{'}} | X_{1}^{'}, X_{2}^{'}, . ., X_{norte}^{'} ⟩ \\ = {mi}^{- i V \sum_{i = 1}^{norte} {pag}_{i}} | {pag}_{1}, {pag}_{2}, . ., {pag}_{norte} ⟩ = {mi}^{- i V t PAG} | {pag}_{1}, {pag}_{2}, . ., {pag}_{norte} ⟩ \end{aligned}

$\begin{split} &T_V\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1dx_2.. dx_N\prod_{i=1}^N e^{ip_ix_i}T_V\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle=\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1dx_2.. dx_N\prod_{i=1}^N e^{ip_ix_i}\left|x_1+Vt,x_2+Vt,..,x_N+Vt\right\rangle\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1'dx_2'.. dx_N'\prod_{i=1}^N e^{i\left(x_i'-Vt\right)p_i}\left|x_1',x_2',..,x_N'\right\rangle\\ &=e^{i\sum_{i=1}^N-Vtp_i}\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1'dx_2'.. dx_N'\prod_{i=1}^N e^{ip_ix_i'}\left|x_1',x_2',..,x_N'\right\rangle\\ &=e^{-iV\sum_{i=1}^Np_i}\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle=e^{-iVtP}\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle \end{split}$

Esto sugeriría que nuestro generador propuesto es de hecho el generador de impulsos.

mi problema principal

Hay dos formas de formular mi problema:

Mi primer paso en la derivación asumió que el impulso cambia el estado del impulso, mientras que el segundo paso muestra que la base del impulso es supuestamente una base propia del impulso. El mismo problema es cierto para la posición.
Supuse que la transformación cambia las coordenadas y los momentos. Este es el concepto básico de la relatividad galileana, ¿cómo es que entiendo que cualquiera de ellos es un vector propio del impulso?

Respuestas (1)

Relatividad galileana en QM

udv · Answer 1

La acción del impulso sobre los estados de impulso especifica los elementos de la matriz de $T_V$ en la representación de momento, no "cambia la representación de momento del estado". En otras palabras, desde
$T_{V} | {pag}_{1}, {pag}_{2}, . ., {pag}_{norte} ⟩ = | {pag}_{1} + {metro}_{1} V, {pag}_{2} + {metro}_{2} V, . ., {pag}_{norte} + {metro}_{norte} V ⟩$ $T_V\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle=\left|p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\right\rangle$ solo sigue eso $⟨ {pag}_{1}^{'}, {pag}_{2}^{'}, . ., {pag}_{norte}^{'} | T_{V} | {pag}_{1}, {pag}_{2}, . ., {pag}_{norte} ⟩ \equiv ⟨ {pag}_{1}^{'}, {pag}_{2}^{'}, . ., {pag}_{norte}^{'} | {pag}_{1} + {metro}_{1} V, {pag}_{2} + {metro}_{2} V, . ., {pag}_{norte} + {metro}_{norte} V ⟩ = \prod_{j} d ({pag}_{j}^{'} - {pag}_{j} - {metro}_{j} V)$ $\langle p'_1,p'_2,..,p'_N | T_V |p_1,p_2,..,p_N\rangle \equiv \langle p'_1,p'_2,..,p'_N |p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\rangle \\ = \prod_j \delta(p'_j - p_j - m_jV)$ o $T_{V} = \int d {pag}_{1} d {pag}_{2} . . d {pag}_{norte} | {pag}_{1} + {metro}_{1} V, {pag}_{2} + {metro}_{2} V, . ., {pag}_{norte} + {metro}_{norte} V ⟩ ⟨ {pag}_{1}, {pag}_{2}, . ., {pag}_{norte} |$ $T_V = \int{dp_1dp_2.. dp_N\;|p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\rangle\langle p_1,p_2,..,p_N|}$
De acuerdo con las ecuaciones (3) y (5) de su segunda fuente, la acción de $T_V$ en posición la representación es
$T_{V} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{norte} ⟩ = {mi}^{i \sum_{j} {metro}_{j} V X_{j}} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{norte} ⟩$ $T_V|x_1,x_2,..,x_N\rangle = e^{i\sum_j{m_jVx_j}}|x_1,x_2,..,x_N\rangle$ no $T_{V} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{norte} ⟩ = | X_{1} + V t, X_{2} + V t, . ., X_{norte} + V t ⟩$ $T_V|x_1,x_2,..,x_N\rangle = |x_1+Vt,x_2+Vt,..,x_N+Vt\rangle$ como aparece en su segundo cálculo. Con la acción correcta, este último se convierte en $\begin{aligned} T_{V} | {pag}_{1}, {pag}_{2}, . ., {pag}_{norte} ⟩ = {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d X_{1} d X_{2} . . d X_{norte} \prod_{i = 1}^{norte} {mi}^{i {pag}_{i} X_{i}} T_{V} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{norte} ⟩ = \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d X_{1} d X_{2} . . d X_{norte} \prod_{i = 1}^{norte} {mi}^{i {pag}_{i} X_{i}} {mi}^{i \sum_{j} {metro}_{j} V X_{j}} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{norte} ⟩ \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- norte / 2} \int d X_{1} d X_{2} . . d X_{norte} \prod_{j = 1}^{norte} {mi}^{i ({pag}_{j} + {metro}_{j} V) X_{j}} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{norte} ⟩ \\ = | {pag}_{1} + {metro}_{1} V, {pag}_{2} + {metro}_{2} V, . ., {pag}_{norte} + {metro}_{norte} V ⟩ \end{aligned}$ $\begin{split} &T_V\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1dx_2.. dx_N\prod_{i=1}^N e^{ip_ix_i}T_V\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle=\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1dx_2.. dx_N\prod_{i=1}^N e^{ip_ix_i}e^{i\sum_j{m_jVx_j}}|x_1,x_2,..,x_N\rangle\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1dx_2.. dx_N\prod_{j=1}^N e^{i\left(p_j+m_jV\right)x_j}\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle\\ &=|p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\rangle \end{split}$ como se esperaba.

Nota agregada en respuesta al comentario : la forma que tiene para la transformación de Galilei es en realidad solo la mitad, el cambio de impulso. La forma completa es un producto del cambio de momento $e^{i\sum_j{m_j\hat x_jV}}$ y el cambio de coordenadas:

T_{v} = {mi}^{i \sum_{j} {metro}_{j} V^{2} t} {mi}^{- i \sum {\hat{pag}}_{j} V t} {mi}^{i \sum_{j} {metro}_{j} V {\hat{X}}_{j}} \equiv {mi}^{i \sum_{j} {metro}_{j} V^{2} t} {mi}^{- i \hat{PAG} V t} {mi}^{i METRO V \hat{X}}

$T_v = e^{i\sum_j{m_jV^2t}}e^{-i\sum{\hat p_jVt}}e^{i\sum_j{m_jV\hat x_j}}\\ \equiv e^{i\sum_j{m_jV^2t}}e^{-i\hat P Vt}e^{iMV\hat X}$ dónde

\hat{X}

$\hat X$ y

\hat{P}

$\hat P$ son el operador de posición del centro de masa y el operador de cantidad de movimiento total, respectivamente.

Observe que el cambio de posición $e^{-i\hat P Vt}$ no actúa sobre estados propios de cantidad de movimiento, mientras que el cambio de cantidad de movimiento $e^{i\sum_j{m_j\hat x_jV}}$ no actúa sobre estados propios de posición. Esto explica tanto su intento existente como su diferencia con el resultado deseado.

Puede encontrar una muy buena derivación y discusión de la transformada en " Principios de simetría en física cuántica " de Fonda & Ghirardi, Sec.2.5, pgs.83-89.

Veo a que te refieres. Sin embargo, los elementos de la matriz de $T_V$ están determinados por las reglas de transformación. Como la regla de transformación para las coordenadas es: $x\to x+Vt$ , Esto debería funcionar.
Tienes razón al esperar que ambos funcionen. Se agregó una nota sobre esto en la respuesta. Detalles en la ref sugerida. Espero eso ayude.

Relatividad galileana en QM

Yair M

Introducción

derivación

mi problema principal

Respuestas (1)

udv

Yair M

udv

Yair M

Conjugado hermitiano del operador diferencial

Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

Cálculo de ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle y ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle para la función de onda [cerrado]

Ayuda para simplificar una ecuación de conmutador

Valores esperados de los operadores LxLxL_x y LyLyL_y en LzLzL_z-eigenstates

Derivación del hamiltoniano de un solo cuerpo en QFT

Oscilador armónico

Problemas para entender el ejercicio de Nielsen & Chuang

Valores propios, operadores hermitianos y observables en mecánica cuántica