Ayuda para simplificar una ecuación de conmutador

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Ayuda para simplificar una ecuación de conmutador

yankeefan11

Para el SHO, nuestro maestro nos dijo que escalamos

pag \to \sqrt{metro ω ℏ} pag

$p\rightarrow \sqrt{m\omega\hbar} ~p$

X \to \sqrt{\frac{ℏ}{metro ω}} X

$x\rightarrow \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}~x$ Y luego define lo siguiente

k_{1} = \frac{1}{4} ({pag}^{2} - q^{2})

$K_1=\frac 14 (p^2-q^2)$

k_{2} = \frac{1}{4} (pag q + q pag)

$K_2=\frac 14 (pq+qp)$

j_{3} = \frac{H}{2 ℏ ω} = \frac{1}{4} ({pag}^{2} + q^{2})

$J_3=\frac{H}{2\hbar\omega}=\frac 14(p^2+q^2)$ La primera parte es mostrar que

q \equiv - k_{1}^{2} - k_{2}^{2} + j_{3}^{2}

$Q \equiv -K_1^2-K_2^2+J_3^2$ ES un número. Mi acercamiento:

dieciséis q = j_{3}^{2} - k_{1}^{2} - k_{2}^{2} = ({pag}^{2} + q^{2})^{2} - ({pag}^{2} - q^{2})^{2} - (pag q + q pag)^{2}

$16Q=J_3^2-K_1^2-K_2^2=(p^2+q^2)^2-(p^2-q^2)^2-(pq+qp)^2$

= {pag}^{4} + q^{4} + {pag}^{2} q^{2} + q^{2} {pag}^{2} - ({pag}^{4} + q^{4} - {pag}^{2} q^{2} - q^{2} {pag}^{2}) - ((pag q)^{2} + (q pag)^{2} + pag q q pag + q pag q pag)

$=p^4+q^4+p^2q^2+q^2p^2-(p^4+q^4-p^2q^2-q^2p^2)-((pq)^2+(qp)^2+pqqp+qpqp)$

= 2 {pag}^{2} q^{2} + 2 q^{2} {pag}^{2} - pag q pag q - q pag q pag - pag q q pag - q pag pag q

$=2p^2q^2+2q^2p^2-pqpq-qpqp-pqqp-qppq$ Al menos punto, no estoy seguro de cómo simplificar más. Muchos de estos parecen tener la forma de anticonmutadores, lo que no parece proporcionar ninguna información útil para convertir Q en un número. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

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joshfísica

Como nota terminológica (porque recuerdo que esto me confundió), lo que significa "Q es un número" es que "Q es un número multiplicado por el operador de identidad".

Girardi

Debe publicar preguntas, no temas... Este es un sitio web de preguntas y respuestas, no un foro.

qmecanico

Sugerencia para las notas (v3): si comienza desde

p^{2} q^{2}

$p^2q^2$ (y sus otros pedidos), y reducir a través del CCR, solo puede obtener términos

p^{2} q^{2}

$p^2q^2$ ,

i ℏ p q

$i\hbar pq$ , y

ℏ^{2}

$\hbar^2$ (y sus otros pedidos). Poniendo

ℏ = 1

$\hbar=1$ , uno podría potencialmente obtener un término

(p q)^{2}

$(pq)^2$ , pero nunca obtener un término

i (p q)^{2}

$i(pq)^2$ como lo tienes en tus notas.

yankeefan11

Lo rehice y me di cuenta de que accidentalmente llevé ese i(pq)^2 de forma incorrecta. Todavía termino con un término de operador que no es un número ac

yankeefan11

Bueno. Creo que lo resolví. ¿Lo hiciste también y encontraste que esto da como resultado -1?

Respuestas (1)

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Como nota terminológica (porque recuerdo que esto me confundió), lo que significa "Q es un número" es que "Q es un número multiplicado por el operador de identidad".
Debe publicar preguntas, no temas... Este es un sitio web de preguntas y respuestas, no un foro.
Sugerencia para las notas (v3): si comienza desde $p^2q^2$ (y sus otros pedidos), y reducir a través del CCR, solo puede obtener términos $p^2q^2$ , $i\hbar pq$ , y $\hbar^2$ (y sus otros pedidos). Poniendo $\hbar=1$ , uno podría potencialmente obtener un término $(pq)^2$ , pero nunca obtener un término $i(pq)^2$ como lo tienes en tus notas.
Lo rehice y me di cuenta de que accidentalmente llevé ese i(pq)^2 de forma incorrecta. Todavía termino con un término de operador que no es un número ac
Bueno. Creo que lo resolví. ¿Lo hiciste también y encontraste que esto da como resultado -1?

qmecanico · Answer 1

Pista: $pq$ -orden $^1$ tu última expresión

2 ({pag}^{2} q^{2} + q^{2} {pag}^{2}) - (pag q + q pag)^{2} .

$2(p^2q^2+q^2p^2)-(pq+qp)^2.$

p q

$pq$ -ordenar significa desplazar todo

p

$p$ 's a la izquierda y todo el

q

$q$ 's a la derecha usando

^{2}

$^2$ la fórmula CCR

q p = p q + i ℏ 1

$qp = pq +i\hbar{\bf 1}$ , posiblemente repetidamente. (Hay caminos más cortos, pero

p q

$pq$ -ordenar es al menos un enfoque sistemático.) Lo que queda será un

c

$c$ -número. De hecho, el resultado es

- 3 ℏ^{2} 1

$-3\hbar^2{\bf 1}$ .

--

$^1$ O alternativamente, $qp$ -ordena tu última expresión.

$^2$ Aquí hay un ejemplo de la $pq$ -procedimiento de pedido: $qp^n = p^nq +i\hbar n p^{n-1}$ .

Sí, ese es un ejemplo de desplazamiento de un $p$ A la izquierda. Cada vez que ves un producto $qp$ en su última fórmula, sustituya en el lado derecho de esa ecuación por $qp$ .
Entonces, ¿qué pasa con un caso de qpqp, iría a (pq+[q,p])(pq+[q,p])
Sí, y luego tendrá 1 número c, dos términos de dos operadores con todos $p$ está a la izquierda y $q$ 's a la derecha, pero luego tendrá un término de cuatro operadores que no es $pq$ ordenado. Necesitarás hacer tu sustitución nuevamente para mover el último $p$ a través de $q$ .
También tengo un término que es p^2 q^2, ¿cómo se convierte eso en un número ac?
@yankeefan11: Se convierte en un $c$ -número. Intentar otra vez.
Agregué una foto de mis matemáticas. ¿Ves algún error en los signos menos o algo?

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