Covarianza galileana de la ecuación de Schrödinger

Ecuación de Schrödinger libre

Los impulsos galileanos son transformaciones que miran el sistema desde el punto de vista de un observador que se mueve con una velocidad constante.$-v$. Un impulso debe cambiar las propiedades físicas de un paquete de ondas de la misma manera que en la mecánica clásica:

$$p' = p + mv$$

$$x' = x + vt$$

de modo que el factor de fase de una onda plana de Schrödinger libre:

$$px - Et = (p' - mv)(x' - vt) - \frac{(p' - mv)^2}{2m} t = p'x' + E't - mvx' + \frac{mv^2}{2} t$$

sólo es diferente en las coordenadas potenciadas por una fase que depende de$x'$y$t$, pero no en$p$.

Una superposición arbitraria de soluciones de ondas planas con diferentes valores de$p$es la misma superposición de ondas planas potenciadas, hasta un total$x,t$factor de fase dependiente. Así que cualquier solución a la ecuación libre de Schrödinger$\psi_t(x)$se puede impulsar en otras soluciones:

$$\psi'_t(x) = \psi_t(x + vt) e^{imvx - i \frac{mv^2}{2}t}$$

Impulsar una función de onda constante produce una onda plana. De manera más general, impulsar una onda plana:

$$\psi_t(x) = e^{ipx - i \frac{p^2}{2m}t}$$

produce una onda impulsada:

$$\psi'_t(x) = e^{ip(x+vt) - i\frac{p^2}{2m}t + imvx - i\frac{mv^2}{2}t} = e^{i(p+mv)x + i\frac{(p+mv)^2}{2m}t}$$

Superando el paquete de ondas gaussianas en expansión:

$$\psi_t(x) = \frac{1}{\sqrt{a + it/m}} e^{-\frac{x^2}{2a}}$$

produce la Gaussiana en movimiento:

$$\psi'_t(x) = \frac{1}{\sqrt{a + it/m}} e^{-\frac{(x+vt)^2}{2a} + imvxx - i\frac{mv^2}{2}t}$$

que se propaga de la misma manera.

Formalismo del operador

La simetría galileana requiere que$H(p)$es cuadrático en$p$tanto en el formalismo clásico como en el hamiltoniano cuántico. Para que los refuerzos galileanos produzcan un$p$-factor de fase independiente,$px - Ht$debe tener una forma muy especial -traducciones en$p$debe compensarse con un cambio de$H$. Esto solo es cierto cuando$H$es cuadrático.

El generador infinitesimal de impulsos tanto en el caso clásico como en el cuántico es

$$B = \sum_i m_i x_i(t) - t \sum_i p_i$$

donde la suma es sobre las diferentes partículas, y$B$,$x$,$p$son vectores.

El soporte Poisson/conmutador de$B\cdot v$con$x$y$p$generar impulsos infinitesimales, con$v$el vector de velocidad de impulso infinitesimal:

$$[B \cdot v, x_i] = vt$$

$$[B \cdot v, p_i] = v m_i$$

Iterar estas relaciones es simple, ya que agregan una cantidad constante en cada paso. Al iterar, el$dv$s suma incrementalmente hasta la cantidad finita$V$:

$$x \rightarrow x_i + Vt$$ $$p \rightarrow p_i + m_i V$$

$B$dividido por la masa total es la posición actual del centro de masa menos el tiempo multiplicado por la velocidad del centro de masa:

$$B = M X_\text{cm} - t P_\text{cm}$$

En otras palabras,$B/M$es la estimación actual de la posición que tenía el centro de masa en el tiempo cero.

La declaración de que$B$no cambia con el tiempo es el teorema del centro de masa. Para un sistema galileano invariante, el centro de masa se mueve con una velocidad constante, y la energía cinética total es la suma de la energía cinética del centro de masa y la energía cinética medida en relación con el centro de masa.

Desde$B$es explícitamente dependiente del tiempo,$H$no conmuta con$B$, bastante:

$$\frac{dB}{dt} = [H,B] + \frac{\partial B}{\partial t} = 0$$

Esto da la ley de transformación para$H$bajo incrementos infinitesimales:

$$[B \cdot v, H] = - P_\text{cm} v$$

La interpretación de esta fórmula es que el cambio en$H$bajo un impulso infinitesimal está completamente dado por el cambio de la energía cinética del centro de masa, que es el producto escalar del momento total con la velocidad de impulso infinitesimal.

las dos cantidades$(H,P)$formar una representación del grupo de Galileo con carga central$M$, donde solo$H$y$P$son funciones clásicas en el espacio de fase o operadores mecánicos cuánticos, mientras que$M$es un parámetro. La ley de transformación para infinitesimales$v$:

$$P' = P + Mv$$ $$H' = H - P\dot{v}$$

se puede iterar como antes -$P$viene de$P$a$P + MV$en incrementos infinitesimales de$v$, mientras$H$cambia en cada paso en una cantidad proporcional a$P$, que cambia linealmente. El valor final de$H$entonces se cambia por el valor de$P$a medio camino entre el valor inicial y el valor final:

$$H' = H - (P + \frac{MV}{2}) \cdot V = H - P \cdot V - \frac{MV^2}{2}$$

Los factores proporcionales a la carga central.$M$son las fases extra de la función de onda.

Los impulsos dan demasiada información en el caso de una sola partícula, ya que la simetría galileana determina completamente el movimiento de una sola partícula. Dada una solución multipartícula dependiente del tiempo:

$$\psi_t(x_1, x_2, ..., x_n)$$

con un potencial que depende solo de las posiciones relativas de las partículas, se puede usar para generar la solución impulsada:

$$\psi'_t = \psi_t(x_1 + vt,...,x_n + vt) e^{i P_\text{cm} \cdot X_\text{cm} - \frac{M v_\text{cm}^2}{2}t}$$

Para el problema de la onda estacionaria, el movimiento del centro de masa solo agrega una fase general. Al resolver los niveles de energía de los sistemas multipartícula, la invariancia galileana permite ignorar el movimiento del centro de masa.

Una onda de Schrödinger libre tiene la forma

$$\psi = N e^{i(\omega t - kx)} ~.$$ Una transformación de Galilei convierte esto en $$\psi = N e^{i(\omega t' - k(x'+vt'))} = e^{i((\omega -kv) t' - kx')} ~.$$ Entonces $$\omega' = \omega - kv$$ y $$k'=k ~.$$ La conclusión es que la ecuación de Schrödinger no es covariante bajo las transformaciones de Galilei.

La ecuación es covariante bajo el llamado grupo de Schrödinger. Sin embargo, algunas operaciones de este grupo no son transformaciones de coordenadas, ya que dependen de la masa de la partícula. El artículo de wikipedia de este grupo es opaco. Vea mi presentación de arxiv.org https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403013 .

Me gustaría contribuir con una respuesta similar, que sigue al artículo original de Bargmann sobre Representaciones Proyectivas.

Enfoque de Bargmann: En este contexto, entendemos por$x,v,a$vectores y por$R$una matriz de rotación. Considere la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones:

$$\begin{equation} i \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}+\frac{1}{2m} \Delta \psi(x,t)= V \psi(x,t). \end{equation}$$ Veamos el mismo estado desde otro marco de referencia, que viene dado por las transformaciones de Galileo de la siguiente manera: $$\begin{equation}\label{Galilei}\tag{1}x'^{j}= \sum_{k=1}^3 \limits R^{jk}x^k+v^jt+a^j;\end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{Galilei1}\tag{2} t'=t+b. \end{equation}$$

En las transformaciones anteriores,$R$son rotaciones, hay$3$de ellos a lo largo de cada eje,$v$representa impulsos galileanos, que también son$3$,$a$representa traslaciones en el espacio. Como asumimos que el espacio es$3$-dimensional, hay 3 traducciones$a$. Finalmente, hay una traslación en el tiempo, parametrizada por$b$. Por lo tanto, hemos encontrado que el grupo de Galileo es un$10$-Grupo de Mentira dimensional. A continuación, queremos que nuestra teoría cuántica sea invariante bajo este grupo de simetría, por lo que debemos representarla en el espacio de Hilbert. Dos estados físicos son equivalentes, si las funciones de onda correspondientes son iguales hasta una fase. Esto significa que observamos representaciones proyectivas del grupo de Galileo en el espacio de Hilbert. Esto también es extremadamente importante, porque nos dice que si queremos que se satisfaga la covarianza de Galileo, debemos tener funciones de onda complejas . No es una elección de descripción como en electrodinámica. Escribiendo esto explícitamente, tenemos:

$$\begin{equation}\tag{2}\label{phase} \psi(x,t)=e^{if(x',t')} \psi'(x',t'). \end{equation}$$ dónde$(x',t')$depender de$(x,t)$de acuerdo a $\ref{Galilei}$, $\ref{Galilei1}$. Lo sabemos$\psi$satisface la ecuación de Schrödinger. queremos determinar$f$tal que$\psi'(x',t')$lo satisface también: $$\begin{equation}\tag{3}\label{schrodingertransformed} i \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}+ \frac{1}{2m} \Delta \psi(x,t)= V \psi(x,t). \end{equation}$$ Desde$f(x',t')$es aún desconocido, esta restricción, a saber, la covarianza tiene que determinarlo. Veamos cómo podríamos reescribir la ecuación anterior en términos de$x',t'$. Para hacer eso, primero considere las transformaciones de coordenadas. Implican el siguiente cambio de derivadas parciales: $$\begin{equation}\tag{4}\label{galileiderivative} \begin{aligned} \nabla_i= \frac{\partial}{\partial x^i}&=\sum_{j=1}^{3} \limits\underbrace{\frac{\partial x^{'j}}{\partial x^i}}_{=R^{ji}} \frac{ \partial}{\partial x^{'j}}+ \underbrace{\frac{ \partial t'}{\partial x^i}}_{=0} \frac{\partial}{\partial t'}=\sum_{j=1}^{3} \limits R_{ji} \frac{\partial}{\partial x^{'j}}=\sum_{j=1}^{3} \limits (R_{ij})^{T} \frac{\partial}{\partial x^{'j}}:=R^{-1} \nabla_i ' ;\\ \frac{\partial}{\partial t}&=\sum_{i=1}^{3}\underbrace{\frac{\partial x^{'i}}{\partial t}}_{=v^i} \frac{\partial}{\partial x^{'i}}+ \underbrace{\frac{\partial t'}{\partial t}}_{=1} \frac{\partial}{\partial t'}=\sum_{i=1}^{3} \limits v^i \frac{\partial}{\partial x{'i}}+ \frac{\partial}{\partial t'}:= v \cdot \nabla ' + \frac{\partial}{\partial t'}. \end{aligned} \end{equation}$$ También sabemos que el laplaciano es rotacionalmente invariante. Dado que la única parte en la transformación de coordenadas para$x'$, que contiene$x$es la parte rotacional, podemos concluir que el laplaciano es invariante bajo las transformaciones galileanas también. Por lo tanto, llegamos a la siguiente ecuación: $$\begin{equation} \left( i \frac{\partial}{\partial t'} +i v \cdot \nabla ' +\frac{1}{2m} \Delta ' - V\right) \left( e^{i f(x',t')} \psi'(x',t') \right). \end{equation}$$ Antes de hacer la regla del producto, recordemos una identidad de cálculo vectorial, que nos producirá un término extra 'poco intuitivo': $$\begin{equation} \Delta(f_1 f_2)=(\Delta f_1) f_2+ f_1 (\Delta f_2)+2 (\nabla f_1) \cdot (\nabla f_2). \end{equation}$$ Para expandir esto, tenemos que usar la regla del producto: $$\begin{equation*} i \underbrace{\frac{\partial}{\partial t'} \left(e^{if(x',t')} \right)}_{=i \frac{\partial{f(x',t')}}{\partial t'} e^{if(x',t')}} \psi'(x',t') +i e^{if(x',t')} \frac{\partial}{\partial t'} \psi'(x',t') + i\underbrace{(v \cdot \nabla') \left(e^{if(x',t')} \right)}_{=(iv \cdot \nabla ' f(x',t')) e^{if(x',t')}} \psi'(x',t')+ie^{if(x',t')} (v \cdot \nabla ')(\psi'(x',t')) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} +\frac{1}{2m}\left( \underbrace{\Delta' e^{if(x',t')}}_{\text{term 1}} \right) \psi'(x',t') +\frac{1}{2m}e^{if(x',t')} ( \Delta' \psi'(x',t'))+\frac{2}{2m}\left(\underbrace{\nabla' e^{if(x',t')}}_{=(i \nabla' f(x',t'))e^{if(x',t')}} \right) \cdot (\nabla ' \psi'(x',t')) -V e^{if(x',t')} \psi'(x',t')=0. \end{equation*}$$ Con el término 1 todavía tenemos mucho trabajo por hacer. Calculémoslo explícitamente: $$\begin{equation*} \Delta ' e^{if(x',t')}= \nabla' \cdot \left( \nabla ' e^{if(x',t')} \right)= \nabla' \cdot \left( e^{if(x',t')} (i \nabla ' f(x',t')) \right) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} = e^{if(x',t')} \nabla'\cdot (i \nabla' f(x',t'))+ i \underbrace{\left(\nabla ' e^{if(x',t')} \right)}_{= (i \nabla' f(x',t'))e^{i f(x',t')}} \cdot \nabla' f(x',t') \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} =i \left(\nabla'^2 f(x',t') \right) e^{if(x',t')} +i \nabla ' f(x',t') (i \nabla' f(x',t'))e^{if(x',t')} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} =\left(i \nabla^{'2} f(x',t')-\left(\nabla ' f(x',t') \right)^2 \right) e^{if(x',t')}. \end{equation*}$$ Entonces, podemos simplificar nuestra expresión después de la regla del producto de la siguiente manera: $$\begin{equation*} \begin{aligned} & \underbrace{-\frac{\partial f(x',t')}{\partial t'} e^{if(x',t')} \psi'(x',t')}_{1} + \underbrace{ie^{if(x',t')} \frac{\partial \psi'(x',t')}{\partial t'}}_{3}-\underbrace{v \cdot (\nabla' f(x',t'))e^{if(x',t')} \psi'(x',t')}_{1}+\underbrace{e^{if(x',t')}(iv \cdot \nabla ') (\psi'(x',t')}_{2}\\ & +\underbrace{\frac{1}{2m} \left(i \nabla'^2 f(x',t') - \left(\nabla' f(x',t')\right)^2 \right)e^{if(x',t')} \psi'(x',t')}_{1}+ \underbrace{\frac{1}{2m} e^{if(x',t')}\left(( \Delta' \psi'(x',t') \right) -V e^{-if(x',t')} \psi'(x',t')}_{3} \\ &+ \underbrace{\frac{1}{m}\left( i \nabla' f(x',t') \right) e^{if(x',t')} \cdot (\nabla ' \psi'(x',t'))}_{2}=0. \end{aligned} \end{equation*}$$ Reagrupar los términos en los grupos$1,2,3$rendimientos: $$\begin{equation*} \left(\underbrace{-\frac{\partial f(x',t')}{\partial t'}+\frac{i}{2m} \nabla^{'2}f(x',t')- \frac{1}{2m}\left(\nabla' f(x',t') \right)^2 -v \cdot \nabla' f(x',t')}_{\text{condition 1}}\right) e^{i f(x',t')} \psi'(x',t') \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} + i\left(\underbrace{v +\frac{1}{m} \nabla' f(x',t')}_{\text{condition 2}} \right)e^{if(x',t')} \cdot \left( \nabla ' \psi'(x',t') \right) + e^{if(x',t')}\underbrace{\left( i\frac{ \partial}{\partial t'}+\frac{1}{2m} \Delta '-V \right) \psi'(x',t')}_{\text{Schrödinger}}=0. \end{equation*}$$ La última parte es la ecuación de Schrödinger para$\psi'(x',t')$. Entonces, queremos eliminar todos los demás términos para que sea igual a 0 en el RHS para garantizar la covarianza. Obtenemos las siguientes condiciones en$f$para asegurar la covarianza: $$\begin{equation}\label{conditions1} \tag{4} v+\frac{1}{m} \nabla ' f(x',t')=0 ; \end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{conditions2} \tag{5} - \frac{\partial f(x',t')}{\partial t'}+\frac{i}{2m}\nabla^{'2}f(x',t')- \frac{1}{2m}\left(\nabla' f(x',t') \right)^2 -v \nabla' f(x',t')=0. \end{equation}$$ El sistema anterior se puede integrar fácilmente para obtener: $$\begin{equation} f(x',t')=-mv \cdot x'+\frac{1}{2}mv^2 t' + C. \end{equation}$$ Para comprobar que este es realmente el caso, sustituyamos de nuevo en $\ref{conditions1}$, $\ref{conditions2}$. Para hacer esto, calcule todos los objetos que aparecen en las condiciones: $$\begin{equation} \nabla' f(x',t')=-mv; \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{\partial f(x',t')}{\partial t'}=\frac{1}{2}mv^2; \end{equation}$$ $$\begin{equation} \nabla^{'2}f(x',t')=0. \end{equation}$$ Por lo tanto, tenemos: $$\begin{equation*} v+\frac{1}{m}(-mv)=v+(-v)=v-v=0. \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} -\frac{1}{2} mv^2+\underbrace{\frac{-i}{2m}0}_{=0}-\underbrace{\frac{1}{2m} m^2 v^2}_{=\frac{1}{2} mv^2} - \underbrace{v(-mv)}_{=mv^2}=0 \implies -\frac{1}{2} mv^2 -\frac{1}{2} mv^2 + mv^2=0 \implies 0=0. \end{equation*}$$ Esto demuestra que la función anterior$f(x',t')$resuelve el sistema. Entonces las funciones de onda se transforman bajo una transformación galileana como: $$\begin{equation} \psi(x,t)=e^{i f(x',t')}\psi'(x',t') \implies \psi'(x',t')=e^{-if(x',t')} \psi(x,t). \end{equation}$$ escribir$f(x',t')$explícitamente: $$\begin{equation}\label{representation} \psi'(x',t')=e^{i \left( mv \cdot x' - \frac{1}{2}mv^2t'+C \right)} \psi(x,t). \end{equation}$$ O equivalente: $$\begin{equation}\label{representation1} \psi'(Rx+vt+a,t+b)= e^{i \left(mv \cdot (Rx+vt+a)- \frac{1}{2} mv^2(t+b) +C \right)} \psi(x,t). \end{equation}$$ Ya que hemos derivado el caso más general, analicemos los ejemplos del libro de texto. Un ejemplo de libro de texto ampliamente conocido, por ejemplo, el discutido por Merzbacher en su libro Quantum Mechanics es la invariancia de impulso de Galileo. Para ello, tenemos que configurar$R=1,a=b=0$: $$\begin{equation} \psi'(x+vt,t)=e^{i \left( mv \cdot(x+vt) - \frac{1}{2} mv^2t \right)} \psi(x,t). \end{equation}$$ O explícitamente como aparece en el libro: $$\begin{equation} \psi'(x,t)=e^{im \left( v \cdot x - \frac{1}{2}v^2t \right)} \psi(x-vt,t). \end{equation}$$

Referencias:

1. Valentine Bargmann, Sobre las representaciones de rayos unitarios de grupos continuos , Annals of Mathematics, 1954.

2. Eugen Merzbacher, Mecánica Cuántica , Tercera Edición

Un agradecimiento especial para Valter Moretti , quien me ayudó a detectar un error en mi cálculo en ese momento cuando lo estaba haciendo y luché por obtener la equivalencia de los resultados.