Oscilador armónico

Dejar | 0 ⟩ , . . . sean los estados del oscilador armónico. Luego, un estado comprimido se definió como | ξ ⟩ = S ( ξ ) | 0 ⟩ , dónde S ( ξ ) := mi 1 2 ( ξ ( a † 2 − a 2 ) ) , dónde a y a † son los operadores canónicos vinculados con el problema del oscilador armónico en QM.

Ahora se suponía que debíamos demostrar que S † ( ξ ) X S ( ξ ) = X mi − ξ .

Una pista dice que se supone que debemos diferenciar F ( ξ ) := S † ( ξ ) X S ( ξ ) y reexpresar esta expresión en términos de F . Finalmente, habrá una ecuación diferencial que lo haga.

El problema es: En mi opinión, la derivada es simplemente: F ′ ( ξ ) := 1 2 S † ( ξ ) ( a † 2 − a 2 ) X S ( ξ ) + 1 2 S † ( ξ ) X S ( ξ ) ( a 2 − a † 2 ) .

Ahora no veo cómo proceder.

Si algo no está claro, por favor hágamelo saber.

Respuestas (1)

Una opción es señalar que S † ( ξ ) viaja con a † 2 − a 2 , y que por lo tanto la derivada de la primera se puede escribir como

d d ξ S † ( ξ ) = ( a † 2 − a 2 ) S † ( ξ ) .
Esto le permitirá escribir F ′ ( ξ ) en términos de F ( ξ ) y a † 2 − a 2 .

Sin embargo, esto no es muy manejable como una ecuación diferencial. En su lugar, deberías jugar un juego similar con el de la derecha, para obtener

F ′ ( ξ ) := 1 2 S † ( ξ ) [ ( a † 2 − a 2 ) X + X ( a 2 − a † 2 ) ] S ( ξ ) .
La parte entre corchetes es un conmutador que puede y debe evaluar; se reduce como debe a una expresión simple, que deja sólo una función de F ( ξ ) en el lado derecho.

Por último, tenga en cuenta que si ya sabe que F ( ξ ) se espera que sea mi − ξ X , entonces sabes lo que puedes esperar F ′ ( ξ ) estar en términos de ξ y X y por lo tanto de F ( ξ ) .

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