Valor propio de energía para SHO Classical y Quantum

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Valor propio de energía para SHO Classical y Quantum

Física
modos normales
mecánica cuántica
osciladores acoplados
oscilador armónico
deberes-y-ejercicios

usuario193422

Supongamos que tenemos un potencial para un oscilador armónico acoplado:

tu = \frac{k_{1} (X_{1}^{2} + X_{3}^{2}) + k_{2} X^{2} + k_{3} (X_{1} X_{2} + X_{2} X_{3})}{2}

$U = \frac{k_1(x_1^2 +x_3^2)+k_2 x^2+k_3 (x_1x_2 + x_2x_3)}{2}$

Si resuelvo los modos normales del oscilador obtengo la frecuencia

ω_{1} = \sqrt{\frac{k_{1}}{metro}}

$\omega_1 = \sqrt{\frac{k_1}{m}}$

ω_{2} = \sqrt{\frac{k_{1} + k_{2}}{metro}}

$\omega_2 = \sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$

ω_{3} = 0

$\omega_3 = 0$

Después de haber terminado de estudiar este problema, quería estudiarlo en términos de mecánica cuántica. donde podemos escribir el hamiltoniano completo:

H = \frac{1}{2} metro {\dot{X}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} metro {\dot{X}}_{2}^{2} + \frac{1}{2} metro {\dot{X}}_{3}^{2} + \frac{k_{1} (X_{1}^{2} + X_{3}^{2}) + k_{2} X^{2} + k_{3} (X_{1} X_{2} + X_{2} X_{3})}{2}

$H = \frac{1}{2} m\dot x_1^2 + \frac{1}{2} m\dot x_2^2 + \frac{1}{2} m\dot x_3^2 +\frac{k_1(x_1^2 +x_3^2)+k_2 x^2+k_3 (x_1x_2 + x_2x_3)}{2}$

¿Cuál sería el valor propio de la energía del sistema? ¿Puedo seguir el estudio (me refiero a las frecuencias que ya hemos encontrado) y escribir la ecuación de energía?

¿Será el valor propio de la energía $E = (n_x + 1/2) \hbar \omega_1+(n_y + 1/2) \hbar \omega_2+(n_z + 1/2) \hbar \omega_3$ ?

Respuestas (2)

Valor propio de energía para SHO Classical y Quantum

ZeroTheHero · Answer 1

Es de suponer que tendrá una parte cinética en $\dot{x}_3^2\sim p_3^2$ . Suponiendo que gran parte de la transformación de la $x_i$ 's a las coordenadas generalizadas $Q_i$ 's que desacoplan las ecuaciones de movimiento también deberían llevar su hamiltoniano a la forma de una suma simple

H = \sum_{i} \frac{{PAG}_{i}^{2}}{2 metro} + \frac{1}{2} metro ω_{i}^{2} q_{i}^{2}

$H=\sum_i \frac{P_i^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega_i^2 Q_i^2$ a partir del cual puede encontrar (fácilmente) los valores propios.

Una pregunta, te refieres $\dot Q_i= x_1, x_2, x_3$ ? y también quiso decir que el valor propio de la energía sería: $E = (n_x + 1/2) \hbar \omega_1+(n_y + 1/2) \hbar \omega_2+(n_z + 1/2) \hbar \omega_3$
no quiero decir que las coordenadas normales $Q_i$ serán combinaciones lineales de las coordenadas originales $x_j$ para que las nuevas coordenadas satisfagan $\ddot Q_i=-\omega_i^2 Q_i$ .

eli · Answer 2

más detalles :

Las ecuaciones de movimiento en tu caso son:

\begin{matrix} (1) & \ddot{\vec{q}} + \frac{\partial tu}{\partial \vec{q}} = 0 \end{matrix}

$\ddot{\vec{q}}+\frac{\partial U}{\partial \vec{q}}=0\tag 1$

dónde $\vec{q}$ es el vector de coordenadas generalizadas y $U$ es la energía potencial

si $\frac{\partial U}{\partial \vec{q}}$ es una función lineal de $\vec{q}$ puedes escribir la ecuación (1) como:

\begin{matrix} (2) & \ddot{\vec{q}} + C \vec{q} = 0 \end{matrix}

$\ddot{\vec{q}}+C\,\vec{q}=0\tag 2$

dónde $C$ es una matriz constante cuadrática:

$C=\frac{\partial}{\partial \vec{q}}\left(\frac{\partial U}{\partial \vec{q}}\right)$

a la ecuación transformada (2) a la forma diagonal con la matriz de transformación $T$ , calculamos los valores propios y los vectores propios de la matriz $C$ .

con $\vec{q}=T\,\vec{Q}$ y $T=\left[\vec{E}_{v1}(\lambda_1)\,,\vec{E}_{v2}(\lambda_2)\,,\ldots\right]$ la matriz de transformación. ,dónde $\lambda_i$ son los valores propios de la matriz $C$ y $\vec{E}_{vi}$ son los vectores propios. obtenemos para la ecuación (2)

\begin{matrix} (3) & T \ddot{\vec{q}} + C T \vec{q} = 0 \end{matrix}

$T\ddot{\vec{Q}}+C\,T\,\vec{Q}=0\tag 3$

multiplicar la ecuación (3) con $T^T$ obtenemos:

\begin{matrix} (4) & T^{T} T \ddot{\vec{q}} + T^{T} C T \vec{q} = 0 \end{matrix}

$T^T\,T\ddot{\vec{Q}}+T^T\,C\,T\,\vec{Q}=0\tag 4$

porque $T^T\,T=I$ matriz de unidad y $T^T\,C\,T=\text{Diag}\left[\lambda_1\,,\lambda_2\,,\ldots\,,\lambda_n\right]$ forma diagonal, obtenemos

\ddot{q_{i}} + λ_{i} q_{i} = \ddot{q_{i}} + ω_{i}^{2} q_{i} = 0

$\ddot{{Q}_i}+\lambda_i\,Q_i=\boxed{\ddot{{Q}_i}+\omega_i^2\,Q_i=0}$

Ejemplo:

$U=1/2\,{\it k1}\, \left( {x_{{1}}}^{2}+{x_{{3}}}^{2} \right) +1/2\,{\it k2}\,{x_{{2}}}^{2}+1/2\,{\it k3}\, \left( x_{{1}}x_{{2}}+x_{{2}}x_{{3} } \right)$

$\Rightarrow$

$C=\left[ \begin {array}{ccc} {\it k1}&1/2\,{\it k3}&0 \\ 1/2\,{\it k3}&{\it k2}&1/2\,{\it k3} \\ 0&1/2\,{\it k3}&{\it k1}\end {array} \right]$

valores propios:

$\vec{\lambda}=\left[ \begin {array}{c} {\it k1}\\ 1/2\,{\it k1}+1 /2\,{\it k2}+1/2\,\sqrt {{{\it k1}}^{2}-2\,{\it k2}\,{\it k1}+{{\it k2 }}^{2}+2\,{{\it k3}}^{2}}\\ 1/2\,{\it k1}+1/2\,{\it k2}-1/2\,\sqrt {{{\it k1}}^{2}-2\,{\it k2}\,{\it k1}+{{\it k2}}^{2}+2 \,{{\it k3}}^{2}}\end {array} \right]$

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eli

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