¿Existen modos "normales" no ortogonales para osciladores acoplados no idénticos?

Question

¿Existen modos "normales" no ortogonales para osciladores acoplados no idénticos?

Física
modos normales
sistemas-complejos
mecanica clasica
osciladores acoplados
ecuaciones diferenciales

Perdido en el quinto postulado de Euclides

La pregunta es amplia, voy a especificar un ejemplo para elaborar lo que estoy preguntando.

Supongamos que tengo dos circuitos LC diferentes acoplados inductivamente (o capacitivamente, pero la pregunta que tengo será relevante para ambos, por lo que, por simplicidad, consideremos el acoplamiento inductivo) como se muestra a continuación.

A partir de las leyes de voltaje y corriente de Kirchoff, y usando las relaciones constitutivas, se puede llegar a las ecuaciones de movimiento que se parecen a

A \ddot{\vec{v}} = B \vec{v}

$\boldsymbol{A}\ddot{\vec{v}}= \boldsymbol{B}\vec{v}$ aquí

\vec{v} = (v_{1} v_{5})^{T}

$\vec{v}=(v_1 \, v_5)^{T}$ dónde

v_{1}

$v_1$ es el voltaje a través

C_{1}

$C_1$ y

v_{5}

$v_5$ es el voltaje a través

C_{5}

$C_5$ . Se puede comprobar fácilmente que este circuito tiene 2 grados de libertad. ahora me fui

A, B

$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ sin indicarlos explícitamente porque la pregunta es más general que esta ecuación en particular. Ahora estoy tratando de encontrar los modos normales de este circuito. Pero se me ocurre que

A, B

$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ están garantizados para ser de rango

2

$2$ y diagonalizable para que podamos encontrar los vectores propios para este problema generalizado de valores propios y garantizar que forman una base para

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ . Entonces podemos desacoplar las ecuaciones de movimiento en 2 ODE independientes de segundo orden.

El problema es que los modos normales se definen como ortogonales, es decir, los vectores propios resultantes son ortogonales y, por lo tanto, es un desacoplamiento diferente. Se requiere específicamente $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ ser simétrica de modo que los vectores propios resultantes formen una base ortogonal.

Consulte esta discusión sobre la transformación de sistemas lineales de segundo orden de ODE de la misma forma que esta.

Entonces, esto me lleva a pensar que si las matrices no son simétricas, los vectores propios no serán ortogonales, por lo tanto, no habrá modos normales. Pero parece que es posible un desacoplamiento. ¿Qué es este desacoplamiento y es cierto? ¿Los osciladores acoplados no idénticos no tienen modos normales?

Una nota es que la falta de simetría en los osciladores podría justificar no poder explotar los modos normales simétricos y antisimétricos (para un ejemplo básico como este), por lo que quizás no sea demasiado sorprendente, pero tenía la impresión de que todos los osciladores acoplados tienen modos normales. .

¡Cualquier ayuda es apreciada!

Respuestas (1)

¿Existen modos "normales" no ortogonales para osciladores acoplados no idénticos?

Quillo · Answer 1

La matemática en el enlace o publicación no es muy clara. Cuando se hace con cuidado, la receta para encontrar las modas se vuelve intuitiva: es ecuación $(*)$ abajo.

Empiece por escribir $\boldsymbol{A}\ddot{\vec{v}}= \boldsymbol{B}\vec{v}$ como

- A ω^{2} {\vec{v}}_{0} = B {\vec{v}}_{0} \Rightarrow (A ω^{2} + B) {\vec{v}}_{0} = 0,

$-\boldsymbol{A}\omega^2 \vec{v}_0= \boldsymbol{B}\vec{v}_0 \quad \Rightarrow \quad (\boldsymbol{A}\omega^2+\boldsymbol{B}) \vec{v}_0= 0,$

gracias a la sustitución habitual $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 e^{-i \omega t}$ .

Ahora, llama $\boldsymbol{C}(\omega) = \boldsymbol{A}\omega^2+\boldsymbol{B}$ . El sistema anterior solo tiene la solución trivial $\vec{v}_0=0$ si $\boldsymbol{C}(\omega)$ tiene rango máximo (en este caso 2). Por lo tanto, para tener soluciones oscilatorias no triviales, debe requerir que $\omega$ toma algún valor especial para que una solución con una amplitud distinta de cero $\vec{v}_0$ puede existir Esto equivale a requerir que el determinante de $\boldsymbol{C}(\omega)$ es cero

Para resumir, puedes encontrar las frecuencias de los modos naturales del sistema resolviendo la ecuación

d mi t [C (ω)] = 0 (*)

$det[\boldsymbol{C}(\omega)] = 0 \quad \quad (*)$

que es una ecuación polinomial en $\omega$ . Las soluciones son las frecuencias del modo: para su caso 2D encontrará dos soluciones (complejas). Como de costumbre, la parte real te dice la frecuencia de la oscilación, la parte imaginaria te dice qué tan rápido decae o crece el modo (dependiendo de su signo).

Eso es lo que estoy haciendo, y si hace clic en el enlace citado anteriormente, explico más allí, obtendrá "modos", pero claramente no son "modos normales", ya que deben ser ortogonales. Entonces, lo que describiste es lo que hice y generalmente es válido siempre que la matriz que mencionas tenga rango $2$ Y, además, debe ser diagonalizable, de lo contrario, los vectores propios de la matriz no forman una base para $\mathbb{R}^2$ .
@ LostInEuclids5thPostulate, lo siento, pero lo que crees que está claro a partir de tu exposición no me quedó claro (lo mismo para el enlace). No veo la palabra "determinante", o una explicación clara de lo que ya estás haciendo.
sí, perdóname, tal vez debería haber declarado explícitamente el determinante y el valor propio generalizado. Pero, en realidad, su comentario trajo a colación una parte interesante que me ayudó a resolver una confusión. Escribiré una respuesta detallada a mi propia pregunta cuando pueda. Gracias por tu contribución.

¿Existen modos "normales" no ortogonales para osciladores acoplados no idénticos?

Perdido en el quinto postulado de Euclides

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Quillo

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