Relación entre los valores propios máximos de la matriz definida positiva simétrica AAA y BAB†BAB†BAB^\dagger

Suponer$A$es una matriz definida positiva simétrica de$n \times n$dimensiones. Matriz$B \in \mathbb{R}^{m \times n}$es una matriz de valor real de rango completo con$m$estrictamente menor que$n$, es decir,$m < n.$

A través de los experimentos de Montecarlo, me di cuenta de que

$$\lambda_{\max} (A) \geq \lambda_{\max}(BA B^\dagger),$$ dónde $\lambda_{\max}(\cdot)$denota el valor propio máximo del argumento. Además, matriz $B^\dagger$representa el pseudo-inverso de $B$, es decir, $B^\dagger =B^T(BB^T)^{-1}$.

Me pregunto de dónde viene esta desigualdad.

Para más ilustración, se puede ejecutar el siguiente código corto en Matlab.

n=30; 
m=29;
c=0;

for i=1:1000;

  Q = randn(n,n);
  eigen_mean = 0.1; %can be made anything, 
   A = Q' * diag(abs(eigen_mean+randn(n,1))) * Q;  %A random symmetric positive definite   
   B=randn*randn(m,n);

      if max(eig(A))< max(eig(B * A * pinv(B)))
                 c = c +1 ;
      end
end

c

Cada vez$c$se devuelve zeor, ya que$\lambda_{\max} (A)$aparentemente nunca es más pequeño que$\lambda_{\max}(BA B^\dagger).$