¿Por qué A−1−P(PTAP)−1PTA−1−P(PTAP)−1PT A^{-1} - P \left( P^TAP \right)^{-1}P^T es definido positivo aquí?

La matriz es de hecho semidefinida positiva. Tenga en cuenta que

$$A^{-1} - P \left( P^T A P \right)^{-1}P^T = \\ A^{-1/2}\left[I - [A^{1/2}P] \left( [A^{1/2}P]^T [A^{1/2}P] \right)^{-1}[A^{1/2}P]^T\right]A^{-1/2}. \tag{*}$$ para la matriz$B = A^{1/2}$, la matriz$M = I - B(B^TB)^{-1}B^T$es semidefinido positivo ya que satisface$M = MM^T$(En realidad,$M$es la proyección ortogonal sobre el espacio columna de$B$). como ecuación$(*)$arriba indica, su matriz es igual a$[A^{-1/2}]^T M[A^{-1/2}]$y por lo tanto es semidefinido positivo.

(En general, si$M$es semidefinido positivo, entonces$C^TMC$debe ser semidefinido positivo).

La matriz no es definida positiva. Tenemos

$$P^TA\cdot ( A^{-1} - P(P^TAP)^{-1}P^T) =0.$$ Si la matriz fuera definida positiva, entonces sería invertible, entonces la ecuación anterior implicaría$P=0$.