Resolver para una matriz definida positiva diagonal: ΔΔ\Delta tal que b′ΔC′(CΔC′)−1=a′DC′(CDC′)−1b′ΔC′(CΔC′)−1=a′DC′(CDC ′)−1b'\Delta C'(C\Delta C')^{-1}=a'DC'(CDC')^{-1}

Question

Resolver para una matriz definida positiva diagonal: ΔΔ\Delta tal que b′ΔC′(CΔC′)−1=a′DC′(CDC′)−1b′ΔC′(CΔC′)−1=a′DC′(CDC ′)−1b'\Delta C'(C\Delta C')^{-1}=a'DC'(CDC')^{-1}

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Matemáticas
álgebra lineal
ecuaciones matriciales
positivo definitivo

mzp

Cualquier ayuda con la siguiente conjetura sería muy apreciada. Me cuesta mucho saber cómo empezar. Aunque los contraejemplos serían ciertamente útiles, si la conjetura no siempre es cierta, estaría más interesado en el conjunto más débil de supuestos bajo los cuales es cierta.

Dejar

$\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ ser $m\times 1$ vectores,
$\mathbf{C}$ ser un arbitrario $n\times m$ matriz de rango $n$ , con $n\le m$ ,
y $\mathbf{D}$ ser una definida positiva diagonal arbitraria $m\times m$ matriz.

Conjetura: $\quad$ Si $\mathbf{a}'\mathbf{b}>0$ , entonces existe una diagonal definida positiva $m\times m$ matriz $\mathbf{\Delta}$ tal que

b^{'} Δ C^{'} (C Δ C^{'})^{- 1} = a^{'} D C^{'} (C D C^{'})^{- 1} .

$\mathbf{b}'\mathbf{\Delta}\mathbf{C}'(\mathbf{C}\mathbf{\Delta}\mathbf{C}')^{-1}=\mathbf{a}'\mathbf{D}\mathbf{C}'(\mathbf{C}\mathbf{D}\mathbf{C}')^{-1}.$

KBS

¿Te importaría compartir un poco sobre de dónde viene esta conjetura? Además, ¿está buscando todas las soluciones o solo algunas de ellas?

mzp

@KBS Proviene de intentar establecer la equivalencia entre dos problemas de pronóstico óptimo con choques gaussianos. Cada lado de la ecuación es la ecuación de pronóstico óptima.

D

$\mathbf{D}$ y

Δ

$\mathbf{\Delta}$ son matrices de covarianza para choques no correlacionados (por lo tanto, diagonal y definida positiva).

KBS

No, me refiero a la condición de la conjetura. ¿Dónde está la condición

a^{T} b > 0

$a^Tb>0$ ¿viene de?

mzp

Por cierto, una solución sería suficiente. La condición

a^{'} b > 0

$\mathbf{a}'\mathbf{b}>0$ solo está asociado con la configuración que nos interesa, por lo que probablemente debería haberlo puesto junto con las otras definiciones. Supongo que en realidad sería posible encontrar

Δ

$\mathbf{\Delta}$ aunque no aguante.

Respuestas (1)

Resolver para una matriz definida positiva diagonal: ΔΔ\Delta tal que b′ΔC′(CΔC′)−1=a′DC′(CDC′)−1b′ΔC′(CΔC′)−1=a′DC′(CDC ′)−1b'\Delta C'(C\Delta C')^{-1}=a'DC'(CDC')^{-1}

¿Te importaría compartir un poco sobre de dónde viene esta conjetura? Además, ¿está buscando todas las soluciones o solo algunas de ellas?
@KBS Proviene de intentar establecer la equivalencia entre dos problemas de pronóstico óptimo con choques gaussianos. Cada lado de la ecuación es la ecuación de pronóstico óptima. $\mathbf{D}$ y $\mathbf{\Delta}$ son matrices de covarianza para choques no correlacionados (por lo tanto, diagonal y definida positiva).
No, me refiero a la condición de la conjetura. ¿Dónde está la condición $a^Tb>0$ ¿viene de?
Por cierto, una solución sería suficiente. La condición $\mathbf{a}'\mathbf{b}>0$ solo está asociado con la configuración que nos interesa, por lo que probablemente debería haberlo puesto junto con las otras definiciones. Supongo que en realidad sería posible encontrar $\mathbf{\Delta}$ aunque no aguante.

KBS · Answer 1

Tengo un comienzo de una respuesta. Lo actualizaré cuando haga algún progreso.

Asumir $\eta\in\mathbb{R}^m$ tal que $C\eta=0$ . Entonces, se puede definir $a-b=D^{-1}\eta$ y $\Delta=\alpha D$ para cualquier $\alpha>0$ . Tenga en cuenta que no hay razón para que $a^Tb>0$ estar satisfecho en este caso.

También es posible usar el cálculo de Kronecker para ese problema. Definir $M:=DC^T(CDC^T)^{-1}C$ . Entonces, la igualdad se escribe

(b^{T} - a^{T} METRO) Δ C^{T} = 0.

$(b^T-a^TM)\Delta C^T=0.$

Inmediatamente podemos notar que si $b^T-a^TM=0$ , entonces la igualdad se cumple para todas las diagonales $\Delta$ 's con entradas diagonales positivas. Tenga en cuenta que siempre podemos elegir $a$ y $b$ tal que esto es cierto.

Suponiendo que esta solución no es satisfactoria, podemos reescribir la igualdad como

(C \otimes (b^{T} - a^{T} METRO)) v mi C (Δ) = 0

$(C\otimes (b^T-a^TM))\mathrm{vec}(\Delta)=0$

dónde $\mathrm{vec}$ denota el operador de vectorización. Con el fin de capturar la estructura diagonal de $\Delta$ , introducimos la matriz $J$ tal que $\mathrm{vec}(\Delta)=Jx$ dónde $x\in\mathbb{R}^m$ es un vector positivo que contiene las entradas diagonales de $\Delta$ .

Entonces, esto lleva al problema de encontrar tal $x$ tal que

(C \otimes (b^{T} - a^{T} METRO)) j X = 0.

$(C\otimes (b^T-a^TM))Jx=0.$

Entonces, el problema es, al final, encontrar un vector positivo en el espacio nulo de alguna matriz. Sin embargo, no parece posible concluir nada general basado en esta formulación. Sin embargo, esto se puede comprobar numéricamente con bastante facilidad.

La última ecuación es de hecho útil. Hice una pregunta de seguimiento aquí: math.stackexchange.com/q/4392372/287326

Resolver para una matriz definida positiva diagonal: ΔΔ\Delta tal que b′ΔC′(CΔC′)−1=a′DC′(CDC′)−1b′ΔC′(CΔC′)−1=a′DC′(CDC ′)−1b'\Delta C'(C\Delta C')^{-1}=a'DC'(CDC')^{-1}

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KBS

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KBS

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KBS

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