¿Cómo es exactamente el propagador una función de Green para la ecuación de Schrödinger?

Sakurai menciona (en varias ediciones) que el propagador es una función de Green para la ecuación de Schrödinger porque resuelve

(2.5.12/2.6.12) ( H − i ℏ ∂ ∂ t ) k ( X , t , X 0 , t 0 ) = − i ℏ d 3 ( X − X 0 ) d ( t − t 0 ) .

no veo eso En primer lugar, no entiendo dónde está el − i ℏ El término fuente delta de Dirac proviene.

Y si no recuerdo mal, la función de Green se usa para resolver ecuaciones lineales no homogéneas, pero la ecuación de Schrödinger es homogénea.

( H − i ℏ ∂ ∂ t ) ψ ( X , t ) = 0 ,
es decir, no hay un término forzoso. Entiendo que el propagador se puede usar para resolver la función de onda a partir de las condiciones iniciales (y los valores límite). ¿Eso no lo convierte en un núcleo? ¿Y qué significa la identidad de Sakurai?

Esta es una pregunta muy antigua, pero en última instancia, la respuesta de por qué usa la función de Green no homogénea para el caso homogéneo es algo que los matemáticos conocen como el principio de Duhamel. Este es un método genérico para Ecuaciones en Derivadas Parciales, y es la misma idea detrás del principio de Huygen.
No estoy seguro, el principio de Duhamel parece tratarse de usar la solución de un problema de valor inicial para resolver el problema no homogéneo, mientras que este es exactamente el problema opuesto, cómo resolver un problema de valor inicial homogéneo con una solución fundamental para el problema no homogéneo. . Seguro que es una pregunta antigua, pero al ver algunas preguntas similares, ahora estoy satisfecho de que los términos adicionales aparecen solo por el orden del tiempo, aunque la respuesta dada aquí no lo explica muy bien.

Respuestas (1)

Mira mi respuesta a una pregunta relacionada aquí . Tenga en cuenta que la siguiente ecuación que da Sakurai marca la diferencia clave.

k ( X ′ ′ , t ; X ′ , t 0 ) = 0  por  t < t 0 .
Esta es implícitamente la Θ ( t − t 0 ) la función de imponer el ordenamiento del tiempo que menciono. Hace la diferencia entre el Dirac d términos de conducción y no. También explica el coeficiente sobre el que preguntas.
− i ℏ d d t Θ ( t − t 0 ) = − i ℏ d ( t − t 0 )
los d -función en los puntos espaciales proviene de la respuesta a la que me vinculé.

Gracias, ahora lo veo un poco más claro. Sin embargo, todavía no entiendo cómo y por qué este procedimiento resuelve la ecuación de Schrödinger. si escribo
ψ ( X ″ , t ″ ) = ∫ d 3 X ′ k ( X ″ , t ″ ; X ′ , t ′ ) ψ ( X ′ , t ′ )
y aplico el operador de Schrödinger en ambos lados, no obtengo exactamente cero como supondría. Simplemente no entiendo por qué la función de Green, que se usa para encontrar una solución no homogénea a un operador lineal, se puede usar para resolver un problema de valor inicial.
No lo resolverás de esta manera. Obtendrá el término residual al integrar sobre el d funciones Para resolver la ecuación de Schroedinger, no pondrías la condición de ordenamiento temporal. Entonces convolucionando el estado inicial ψ ( X ′ , t ) con k da la solución en tiempos posteriores o anteriores.
@Kasper Meerts: Obtiene exactamente cero: el dominio correcto de integración es solo en un intervalo de tiempo, de modo que t 'es 0 en su integral, y todas las demás integrales no cambian. Esto es más fácil de hacer intuitivo resolviendo un SHO por la función de Green exacta.
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