Relación entre el número de partículas y las colisiones entre moléculas de gas dentro de un recipiente cerrado

La fórmula para la trayectoria libre media de las partículas de gas depende no solo de la densidad, sino también del "tamaño" de las partículas. A medida que el tamaño disminuye, la posibilidad de colisión disminuye.

Si tiene el camino libre medio y la velocidad promedio, entonces el camino dividido por la velocidad le dará tiempo libre medio para colisiones por partícula.

Sigamos el rastro de una sola partícula esférica que se mueve en un gas ideal de partículas idénticas:

Suponiendo que nuestra partícula de interés tiene un diámetro$d$y una velocidad media constante$\bar v_x$porque el gas está a temperatura constante, luego de un tiempo$t$habrá barrido un camino cilíndrico de colisión con el volumen$V$:

$$V\ =\ (\text{base of cylinder})(\text{height of cylinder})\ =\ (\pi d^2)(\bar v_x t)$$

Para contar el número de partículas que encontró nuestra partícula de interés, es decir, el número de colisiones que tuvo en este tiempo, solo necesitamos multiplicar por la densidad:

$$\small \text{number of collisions}\ =\ \text{(volume swept out by our particle)} \times \text{(the number of particles per unit volume)}$$

Sustituyendo el resultado de la primera ecuación anterior y los términos de la ley de los gases ideales :

$$\large \text{number of collisions}\ =\ (\pi d^2)(\bar v_x t)\ \times\ \left( \frac{n}{V} \right)$$

Dividiendo ambos lados por$t$y sustituyendo la expresión por la velocidad promedio de una partícula de gas ,$\bar v_x = \sqrt{8k_B T/ \pi m}$resulta en nuestra ecuación final :

$$\large \text{number of collisions per second}\ =\ (\pi d^2) \left( \sqrt{8k_B T/ \pi m}\right) \times\ \left( \frac{n}{V} \right)$$

O escrito en términos de presión, usando la ley de los gases ideales:

$$\large \text{number of collisions per second}\ =\ (\pi d^2) \left( \sqrt{8k_B T/ \pi m}\right) \times\ \left( \frac{P}{RT} \right)$$

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Notas de la fuente:

• Esta derivación se basó en el artículo "Frecuencia de colisión" en Química Libretext, así como en los documentos de referencia del curso de una clase de Aeronáutica y Astronáutica de Stanford "AA210 - Fundamentos del flujo comprimible".
• La imagen de arriba es del artículo "Frecuencia de colisión" mencionado anteriormente en Química Libretext

Puede preguntar: "¿Por qué la base del cilindro barrido está$\pi d^2$?" Es el área de colisión efectiva teniendo en cuenta el tamaño de las partículas "objetivo". Vea la imagen a continuación del artículo de HyperPhysics sobre "Mean Free Path" (CR Nave, Universidad Estatal de Georgia):

Para un gas ideal , PV = nRT.

La presión es proporcional al número de colisiones que ve cada molécula de gas, no solo las colisiones con las paredes, sino también las colisiones con otras moléculas de gas. Por lo tanto, cómo puede tener diferentes presiones de aire a diferentes altitudes aunque no haya "paredes".