En un campo gravitatorio, ¿la temperatura de un gas ideal será menor a mayor altitud?

Sí , la temperatura de un gas (ya sea real o ideal) es más baja en la parte superior de un recipiente. Un ejemplo sencillo es la atmósfera de la Tierra, que es más fría en la parte superior que en la inferior.

Hay una advertencia obvia: si el gas está en equilibrio térmico con su contenedor, por ejemplo, porque el contenedor es bastante pequeño o la presión es bastante alta, entonces, por supuesto, no puede haber un gradiente de temperatura.

La razón por la cual la temperatura varía con la elevación no es exactamente lo que se te ocurrió. Creo que su argumento es válido dentro de su definición de un gas ideal : las partículas que suben a lo alto de su caja claramente tienen menos energía cinética que la que tenían en el suelo, por lo que su temperatura se reduce. (Ayuda a su ilustración imaginar que la caja tiene 10 millas de alto y 10 pies de ancho). Pero en las definiciones habituales, las moléculas de gas ideales son pequeñas esferas duras, por lo que sus colisiones inducen la dispersión, lo que altera sus velocidades y direcciones. Creo que el efecto de esta dispersión sería que la energía cinética "perdida" por una sola partícula como resultado de elevarse en la caja sería recuperada por las colisiones con otras partículas que se dispersan desde abajo o desde arriba.

Para mostrar que la temperatura de un gas disminuye con el aumento de la elevación, reproduzco una versión simplificada del argumento en el Ejercicio 2042 de las notas en línea de stat-mech de Doron Cohen .

Considere una caja de volumen fijo en un campo gravitacional que contiene un gas ideal que no está en equilibrio térmico. Una "capa" arbitrariamente delgada de gas en el fondo de la caja tiene presión$P_0$, densidad numérica$n_0$y temperatura$T_0$, con$P_0=n_0T_0$(eliminando la constante de los gases por conveniencia). A medida que un gas sube (o baja), realiza un trabajo adiabático sobre su entorno, lo que cambia el contenido de energía del gas que sube (o baja). Por lo tanto, en cada "capa" en altura$h$tenemos

La presión debe variar continuamente hacia arriba de la caja, lo que lleva a la condición

Tenemos$P(h)=Cn(h)^\gamma$desde arriba, así$dP(h)=C\gamma n(h)^{\gamma-1} dn$. Integrando la condición de continuidad anterior con esta definición de$dP$nos lleva (eventualmente) a un resultado final,

y como la temperatura es$T=P/n$, la temperatura dependiente de la altura es

Entonces vemos que el gradiente de presión inducido por la gravedad produce un gradiente de temperatura : cuanto más alto se sube en la caja, más frío se vuelve el gas.

Tu pensamiento es sólido. El equilibrio térmico para un gas aislado (sin entrada/salida de energía en el límite) en un campo gravitacional significa energía térmica + energía gravitatoria = constante por unidad de materia gaseosa (mol, kg, etc.). Entonces, de hecho, la temperatura de la parte inferior de la columna será más alta que la de la parte superior de la columna. Para visualizar esto utilizando el modelo de gas de la bola de billar, considere que en un instante dado cada bola de billar que se mueve hacia arriba está transfiriendo energía cinética (temperatura) a energía potencial gravitacional, disminuyendo la velocidad, y cada bola que se mueve hacia abajo está acelerando (más caliente) por lo tanto en equilibrio hay un gradiente térmico.