¿Por qué las moléculas de un gas ideal no pueden tener la misma velocidad?

No, no puedes.

podemos demostrar que (a través de la conservación de la energía cinética y el momento) la velocidad de la partícula antes y después de la colisión es la misma.

Solo en el centro de masa de dos partículas que chocan elásticamente, el momento permanece igual. Cada colisión por pares tiene un centro de masa diferente. En el marco de laboratorio, que es el marco en el que se intenta modelar el gas ideal, toda la cantidad de movimiento puede ser absorbida por una de las partículas, dejando a la otra inmóvil en el laboratorio. Esto sucede con las colisiones de bolas de billar todo el tiempo. Ver este análisis. Entonces, incluso si uno hiciera una configuración experimental con todas las partículas del gas ideal con la misma velocidad, después de la primera dispersión, las velocidades cambiarán porque no estarán todas de frente, habrá ángulos, y luego el laboratorio versus el centro de prevalece el argumento de masas.

Maxwell dio las funciones de distribución para el gas ideal usando suposiciones simples y razonables. Boltzman refinó esto.

Es un modelo, es decir, una fórmula teórica, que ha sido validada por datos una y otra vez.

Incluso si la velocidad inicial de todas las partículas fuera la misma, las colisiones moleculares alterarán esta uniformidad.

Quiero mostrar que esto sucede en base a un diagrama (a la izquierda) de uno de los artículos de Maxwell.

Los diagramas del centro y de la derecha son para dos partículas con la misma masa que viajan a la misma velocidad.$u_1 = u_2$y para facilitar la presentación se supone que es una colisión 2D.

Las velocidades en el marco de laboratorio de estas dos partículas que están a punto de chocar son$\vec u_1$y$\vec u_2$y representado en el diagrama vectorial en el centro como$\vec{OA}$y$\vec {OB}$.

La velocidad del centro de masa del sistema de dos partículas en relación con el marco del laboratorio está representada por$\vec {OG} =\vec V = \frac 12 (\vec u_1 + \vec u_2)$.

Las velocidades de las dos partículas en el marco del centro de masa son$\vec v_1 = \vec u_1 - \vec V = \frac 12(\vec u_1 -\vec u_2)$y$\vec v_2 = \vec u_2 - \vec V = \frac 12(\vec u_2 -\vec u_1) = - \vec v_1$.

Si la colisión es elástica, después de la colisión, la magnitud de las velocidades de las partículas permanece igual.$(v_1 =v_1'=v_2=v_2')$y si la colisión no es frontal, solo la dirección en la que viajan las partículas cambiará en ángulo$\gamma$.
Las velocidades en el marco del centro de masa de las partículas después de la colisión,$\vec v'_1$y$\vec v'_2$, están representados por los vectores$\vec {Ga}$y$\vec {Gb}$en el diagrama de la derecha.

Las velocidades en el marco de laboratorio de las dos partículas después de la colisión están representadas por los dos vectores$\vec {Oa}=\vec w_1 = v_1' +V$y$\vec {Ob}=\vec w_2 = v_2' +V$y obviamente no son iguales en magnitud.

Entonces, una colisión cambia las velocidades de las partículas y puedes imaginar que esto sucede una y otra vez y en 3D.

"Podemos demostrar que (a través de la conservación de la energía cinética y el momento) la velocidad de la partícula antes y después de la colisión es la misma".

Creo que encontrará que para una colisión elástica frontal entre bolas de igual masa, las partículas intercambian velocidades. Pero este no es el caso de colisiones no frontales (oblicuas). Una suposición ingenua sería que, en este caso, el cambio de velocidad ocurre para los componentes a lo largo de la línea que une los centros en la colisión, pero que cada bola retiene su propio componente de velocidad perpendicular a esta línea. En ese caso, las velocidades de las partículas,$\sqrt{v_{perp}^2 + v_{par}^2}$la voluntad en general cambiará, y no meramente el cambio.

No estoy tan impresionado por su libro de texto. En una colisión perfectamente elástica, la energía CINÉTICA se conserva. La energía se conserva por muy inelástica que sea la colisión.

Bueno, las moléculas del gas pueden tener la misma velocidad solo si serán estáticas, o en el cero absoluto ($0K$o$-273°C$) [pero solo es posible en teoría].

Es física simple del movimiento vectorial: suma de fuerzas aplicadas hacia una molécula desde las moléculas circundantes que también están en el estado de movimiento (suma de energía cinética en volumen limitado aplicada hacia una molécula).

Aunque no es mi área de especialización, esto es lo que dicta la lógica a mi entender.