Derivación de la presión ejercida por partículas clásicas sobre las paredes de un recipiente cúbico (Gas Ideal)

Question

Derivación de la presión ejercida por partículas clásicas sobre las paredes de un recipiente cúbico (Gas Ideal)

Física
gas ideal
Teoría cinética
mecánica estadística

Anónimo

Dado que la probabilidad de encontrar una partícula en un estado $|i\rangle$ es

{pag}_{i} \propto Exp (- β {mi}_{i})

$p_i \propto \exp(-\beta E_i)$ se puede concluir que para partículas clásicas (:=partículas que obedecen a la relación de energía cinética clásica) con masa

m

$m$ la distribución de velocidades viene dada por

PAG (| v |) = \sqrt{\frac{2}{π}} {(β metro)}^{3 / 2} Exp (- β metro \frac{| v |^{2}}{2})

$P(|\mathbf{v}|)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} {(\beta m)}^{3/2}\exp\left(-\beta m \frac{|\mathbf{v}|^2}{2}\right)$ Ahora considere una caja cúbica con Volumen

L^{3}

$L^3$ . que presion ejercen

N

$N$ partículas clásicas confinadas en esta caja en las seis paredes idénticas del confinamiento?

Uno puede llegar a la respuesta.

pag = \frac{norte}{β V}

$p=\frac{N}{\beta V}$ al asumir que

No hay interacciones entre partículas.
Las colisiones con las paredes son elásticas y que el impulso de la partícula después de una colisión con una pared es $\mathbf{p'}=\mathbf{p}-2\mathbf{p}\mathbf{n}$ . Dónde $\mathbf{n}$ es normal a la pared.
Cada partícula viaja una distancia $L$ antes de chocar contra una pared. Las partículas solo viajan en un camino recto desde el lado $S_i$ al lado opuesto correspondiente $S_i'$ . Nunca viajan de un lado a un lado adyacente.

Ahora la lógica es fácil. Fuerza ejercida sobre un lado del cubo por una partícula con velocidad $v$ es solo

F (v) = \frac{Δ pag}{Δ t} = \frac{2 metro v}{2 L / v}

$F(v)=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{2mv}{2L/v}$ Fuerza ejercida en el lado por una partícula en promedio

⟨ F ⟩ = \frac{2 metro}{2 L} ⟨ v^{2} ⟩ = \frac{metro}{L} \int_{R^{+}} v^{2} PAG (v) d v = \frac{3}{β L}

$\langle F\rangle=\frac{2m}{2L}\langle v^2\rangle=\frac{m}{L}\int_{\mathbb{R}^+}v^2P(v)dv=\frac{3}{\beta L}$ Lo que lleva a la presión total ejercida en este lado

pag = \frac{norte}{3} \frac{⟨ F ⟩}{A} = \frac{norte}{β V}

$p=\frac{N}{3}\frac{\langle F\rangle}{A}=\frac{N}{\beta V}$ Que por simetría es igual para los seis lados.

Tenga en cuenta que no $N$ pero $N/3$ las partículas viajan de un lado a su lado opuesto, ya que hay seis lados en total.

¿Puede alguien llegar al resultado sin usar la tercera suposición, que inventé? Consideraría esto como un problema puramente geométrico y no puedo pensar en una forma inteligente de abordarlo. Quiero un tratamiento que también permita que las partículas viajen de un lado a otro de su lado adyacente.

Respuestas (1)

Derivación de la presión ejercida por partículas clásicas sobre las paredes de un recipiente cúbico (Gas Ideal)

acarturk · Answer 1

Asumimos que las partículas no interactúan. Escojamos una partícula al azar. Esta partícula tiene con $p_i$ probabilidad una energía de $E_i$ . Suponga que esta energía también es un hecho. Ahora, tenemos una suposición sustituta para su tercera:

Cualquier partícula tiene la misma probabilidad de dirigirse a cualquier dirección. En $\Bbb R^3$ , esto significa que la probabilidad de que una partícula se dirija a una dirección es $dP(\theta+d\theta,\phi+d\phi)=\sin(\theta)\,d\theta\,d\phi\ /\ 4\pi$ .

Esta última suposición no es realmente una suposición sino un argumento de simetría. Ahora supongamos que tenemos una partícula con velocidad $\mathbf v$ . La contribución de esta partícula a la presión total sobre la cara superior del cubo (es decir, $(x,y,L)$ ) es,

{pag}_{z} = \frac{metro (v \cdot \hat{z})^{2}}{L} = \frac{metro}{L} (v porque (θ))^{2}

$p_z = \frac{m (\mathbf v\cdot\hat z)^2}{L} = \frac{m}{L}\,(v\cos(\theta))^2$

Esto sigue ya que esta partícula tiene velocidad $v_z=\mathbf v\cdot\hat z$ en $+\hat z$ dirección, y recorre un camino total (a lo largo $\hat z$ ) de $L$ en el proceso.

Calculamos la probabilidad de este evento arriba.

pag = ⟨ {pag}_{z} ⟩ = \int {pag}_{} d PAG (θ + d θ, ϕ + d ϕ) = \int_{0}^{π} \frac{metro v^{2}}{L} {porque}^{2} (θ) pecado (θ) d θ / 2

$p=\langle p_z \rangle=\int p_\, dP(\theta+d\theta,\phi+d\phi) = \int_0^\pi \frac{mv^2}{L}\,\cos^2(\theta)\,\sin(\theta)\,d\theta\ /\ 2$

pag = \frac{metro v^{2}}{6 L} ({porque}^{3} (0) - C o s^{3} (π)) = \frac{metro v^{2}}{3 L}

$p=\frac{mv^2}{6L}\,(\cos^3(0)-cos^3(\pi)) = \frac{mv^2}{3L}$

El trato es, suponiendo sólo $N/3$ las partículas se mueven $\hat z$ , y los que sí tienen velocidades sólo en $\hat z$ es idéntico a los cálculos realizados asumiendo que todas las partículas ( $N$ ) tienen un vector de velocidad arbitrario.

Gracias, esto es lo que estaba buscando. Pero dices "Esto se sigue ya que esta partícula tiene velocidad $v_z=v⋅\hat{z}$ en $+\hat{z}$ dirección, y recorre un camino total (a lo largo $\hat{z}$ ) de $L$ en el proceso." ¿Por qué el camino a lo largo $\hat{z}$ igual a $L$ ? Esto supone que la partícula comienza en la parte inferior de la caja. Sin embargo, en promedio, este no es el caso.
Creo que respondí este último punto por mí mismo: elija una partícula aleatoria con velocidad $v$ y míralo después de una colisión donde la pared superior recibió un impulso de $\Delta p=2p_z=2mv_z=2mv\cos(\theta)$ . La colisión totalmente elástica no cambió la velocidad. $v$ . ¿Cuánto tiempo necesita la partícula para volver a golpear la pared superior? La respuesta es $\Delta t=\frac{2L}{v_z}=\frac{2L}{v*cos(\theta)}$ , ya que la partícula tiene que viajar hacia abajo hasta la pared en el piso y luego volver a subir, un total $\hat{z}$ -distancia de $2L$ . Entonces, la fuerza en la pared superior es de hecho $F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=mv_z^2/L$

Derivación de la presión ejercida por partículas clásicas sobre las paredes de un recipiente cúbico (Gas Ideal)

Anónimo

Respuestas (1)

acarturk

usuario224659

usuario224659

En un campo gravitatorio, ¿la temperatura de un gas ideal será menor a mayor altitud?

Teoría cinética de la física [cerrado]

¿Por qué las moléculas de un gas ideal no pueden tener la misma velocidad?

E=kTE=kTE=kT o 32kT32kT\frac32kT?

¿La ley de Avogadro es aplicable para átomos o solo para moléculas?

¿Por qué el calor específico de un gas real depende de la temperatura pero no del gas ideal?

Relación entre el número de partículas y las colisiones entre moléculas de gas dentro de un recipiente cerrado

Teorema de equipartición para el segundo momento de la energía

Comprender el desarrollo de Feynman de la ley de los gases ideales: Vol I 39-2 de The Feynman Lectures on Physics

Derivación de la expansión virial