Relación entre el Álgebra de Dirac y el grupo de Lorentz

Es bastante molesto que P&S solo te dé

$$S^{\mu \nu} = \frac{i}{4} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]$$ de la nada, aquí hay una forma de derivarlo similar a la derivación de Bjorken-Drell (que parte de la ecuación de Dirac) pero directamente del álgebra de Clifford, asumiendo que los productos de las matrices gamma forman una base. Dada un álgebra de Clifford de$\gamma^{\mu}$es satisfactorio $$\begin{align} \{ \gamma^{\mu} , \gamma^{\mu} \} = 2 \eta^{\mu \nu} I \end{align}$$ observamos que para una transformación invertible$S$tenemos $$\begin{align} 2 \eta^{\mu \nu} I &= 2 \eta^{\mu \nu} S^{-1} S \\ &= S^{-1}(2 \eta^{\mu \nu}) S \\ &= S^{-1}\{ \gamma^{\mu} , \gamma^{\mu} \} S \\ &= \{ S^{-1} \gamma^{\mu} S, S^{-1}\gamma^{\mu} S \} \\ &= \{ \gamma'^{\mu} , \gamma'^{\mu} \} \end{align}$$ mostrándonos que el álgebra de Clifford de matrices $$\gamma'^{\mu} = S^{-1} \gamma^{\mu} S$$ también satisface el álgebra de Clifford, por lo tanto, cualquier conjunto de matrices que satisfaga el álgebra de Clifford se puede obtener a partir de un conjunto dado$\gamma^{\mu}$usando una transformación no singular$S$. Dado que las relaciones de anticonmutación implican la métrica$\eta_{\mu \nu}$, y sabemos que la métrica se deja invariable bajo las transformaciones de Lorentz $$\eta^{\mu \nu} = \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} \eta^{\rho \sigma}$$ esto implica inmediatamente $$\begin{align} 2 \eta^{\mu \nu} I &= \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} 2 \eta^{\rho \sigma} I \\ &= \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} \{ \gamma^{\rho} , \gamma^{\sigma} \} \\ &= \{ \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \gamma^{\rho} , \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} \gamma^{\sigma} \} \\ &= \{ \gamma'^{\mu} , \gamma'^{\mu} \} \end{align}$$ lo que muestra que la transformación de Lorentz de una matriz gamma también satisface el álgebra de Clifford y, por lo tanto, es en sí misma una matriz gamma y, por lo tanto, puede expresarse en términos de alguna transformación no singular$S$ $$\begin{align} \gamma'^{\mu} &= \Lambda^{\mu} \, _{\nu} \gamma^{\nu} \\ &= S^{-1} \gamma^{\mu} S \end{align}$$ dónde$S$está por determinar. Dado que los operadores$S$representan realizar una transformación de Lorentz en$\gamma^{\mu}$, y las transformaciones de Lorentz en los campos se expanden como$I - \frac{i}{2}\omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}$, ampliamos$\Lambda$y$S$como $$\begin{align} \Lambda^{\mu} \, _{\nu} &= \delta ^{\mu} \, _{\nu} + \omega^{\mu} \, _{\nu} \\ S &= I - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} \Sigma^{\mu \nu} \end{align}$$ dónde$\Sigma^{\mu \nu}$debe ser antisimétrico y construido a partir de matrices gamma, por lo tanto, de $$\begin{align} \gamma'^a &= \Lambda^a \, _{\mu} \gamma^{\mu} \\ &= (\delta^a \, _{\mu} + \omega^a \, _{\mu})\gamma^{\mu} \\ &= \gamma^a + \omega^a \, _{\mu} \gamma^{\mu} \\ &= \gamma^a + \omega_{b \mu} \eta^{a b} \gamma^{\mu} \\ &= \gamma^a + \omega_{b \mu} \eta^{a [b} \gamma^{\mu]} \\ &= \gamma^a + \frac{1}{2} \omega_{b \mu} (\eta^{a b} \gamma^{\mu} - \eta^{a \mu} \gamma^b) \\ &= \gamma^a + \frac{1}{2} \omega_{\nu} (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}) \\ &= S^{-1} \gamma^a S \\ &= (I - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} \Sigma^{\mu \nu}) \gamma^a (I + \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} \Sigma^{\mu \nu}) \\ &= \gamma^a - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} [\gamma^a, \Sigma^{\mu \nu}] \end{align}$$ tenemos la relación (que se puede interpretar como diciendo que$\gamma^a$se transforma como un vector bajo las representaciones de spinor de las transformaciones de Lorentz, como por ejemplo en las notas QFT de Tong) $$\begin{align} i (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}) = [\gamma^a, \Sigma^{\mu \nu}] \end{align}$$ y sabemos$\Sigma^{\mu \nu}$, ya que es antisimétrico, debe involucrar un producto de$\gamma$matrices (debido a la base de 16 dimensiones formada a partir de los elementos del álgebra de Clifford), sólo dos por el lado izquierdo, y de $$\begin{align} \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} &= - \gamma^{\nu} \gamma^{\mu} , \ \ \ \mu \neq \nu, \\ \gamma^{\mu} \gamma^{\mu} &= \gamma^{\nu} \gamma^{\mu} , \ \ \ \mu = \nu, \end{align}$$ esperamos que $$\begin{align} \Sigma^{\mu \nu} &= c [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}] \\ &= c (\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \gamma^{\nu} \gamma^{\mu}) \\ &= 2 c ( \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \eta^{\mu \nu}) \end{align}$$ para algunos$c$que restringimos por la relación (vectorial) anterior $$\begin{align} i (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}) &= [\gamma^a, \Sigma^{\mu \nu}] \\ &= c [\gamma^a, 2( \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \eta^{\mu \nu})] \\ &= 2 c [\gamma^a, \gamma^{\mu} \gamma^{\nu}] \\ &= 2 c ( \gamma^{\mu} [\gamma^a,\gamma^{\nu}] + [\gamma^a, \gamma^{\mu}] \gamma^{\nu}) \\ &= 2 c [ \gamma^{\mu} 2( \gamma^a \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu}) + 2( \gamma^a \gamma^{\mu} - \eta^{a \mu}) \gamma^{\nu}] \\ &= 4 c [ \gamma^{\mu} ( \gamma^a \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu}) + ( \gamma^{\mu} \gamma^{a} + 2 \eta^{a \mu} - \eta^{a \mu}) \gamma^{\nu}] \\ &= 4 c (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}). \end{align}$$ Esto da el resultado$c = i/4$. El generador de transformaciones de Lorentz de matrices gamma es $$\begin{align} \Sigma^{\mu \nu} &= \dfrac{i}{4} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}] \\ &= \dfrac{i}{2}(\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \eta^{\mu \nu}) \ \ \text{i.e.} \\ S &= I - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (\frac{i}{4} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]) \\ &= I + \dfrac{1}{8} \omega_{\mu \nu} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]. \end{align}$$ Usando el hecho de que las matrices gamma se transforman como un vector bajo la representación spinor de una transformación de Lorentz infinitesimal, $$\begin{align} [\Sigma^{\mu \nu}, \gamma^{\rho}] = i (\gamma^{\mu} \eta^{\nu \rho} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \rho}) \end{align}$$ podemos mostrar que la representación del espinor de una transformación de Lorentz satisface las relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz, ya que para$\rho \neq \sigma$ $$\begin{align} [\Sigma^{\mu \nu},\Sigma^{\rho \sigma}] &= \frac{i}{2}[\Sigma^{\mu \nu},\gamma^{\rho} \gamma^{\sigma}] \\ &= \frac{i}{2}([\Sigma^{\mu \nu},\gamma^{\rho} ] \gamma^{\sigma} + \gamma^{\rho} [\Sigma^{\mu \nu}, \gamma^{\sigma}]) \\ &= \frac{i}{2}\{ i (\gamma^{\mu} \eta^{\nu \rho} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \rho}) \gamma^{\sigma} + \gamma^{\rho} i (\gamma^{\mu} \eta^{\nu \sigma} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \sigma}) \} \\ &= - \frac{1}{2}\{ \gamma^{\mu} \eta^{\nu \rho} \gamma^{\sigma} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \rho} \gamma^{\sigma} + \gamma^{\rho} \gamma^{\mu} \eta^{\nu \sigma} - \gamma^{\rho} \gamma^{\nu} \eta^{\mu \sigma} \} \\ &= \frac{i}{2}\{ \eta^{\nu \rho} (2 \Sigma^{\mu \sigma} + \eta^{\mu \sigma}) - \eta^{\mu \rho} (2 \Sigma^{\nu \sigma} - \eta^{\nu \sigma}) + (2 \Sigma^{\rho \mu} - \eta^{\rho \mu}) \eta^{\nu \sigma} - (2 \Sigma^{\rho \nu}) - \eta^{\rho \nu}) \eta^{\mu \sigma} \} \\ &= i ( \eta^{\nu \rho} \Sigma^{\mu \sigma} - \eta^{\mu \rho} \Sigma^{\nu \sigma} + \Sigma^{\rho \mu} \eta^{\nu \sigma} - \Sigma^{\rho \nu} \eta^{\mu \sigma} ). \end{align}$$ Este método generaliza a partir de$SO(3,1)$a$SO(N)$, véase, por ejemplo, Kaku QFT Sec. 2.6, y la razón subyacente para hacer algo de esto en primer lugar es que uno busca encontrar representaciones proyectivas que surjan debido a la conexión no simple de estos grupos ortogonales. Con respecto a su pregunta sobre métricas arbitrarias$g_{\mu \nu}$, este método se aplica y surge debido a la conexión no simple de grupos ortogonales especiales, no se puede generalizar a métricas arbitrarias, este es un problema que se puede eludir en supergravedad y teoría de supercuerdas usando veilbein.

Referencias:

1. Bjorken, JD y Drell, SD, 1964. Mecánica cuántica relativista; cap. 2.
2. Kaku, M., 1993. Teoría cuántica de campos: una introducción moderna. Universidad de Oxford. Prensa; Segundo. 2.6.
3. Tong, Notas sobre la teoría del campo cuántico http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html .
4. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/D18S.pdf
5. Hace$GL(N,\mathbb{R})$propia representación del espinor? ¿Qué grupo es su grupo de cobertura? (Libro de texto QFT de Kaku)

Quiero saber si tomamos alguna métrica arbitraria.$g_{\mu\nu}$en algún espacio$V$, serán los generadores definidos como$S^{\mu\nu}$generar un grupo de Lie cuyos elementos son transformaciones en$V$que conservan el producto interior correspondiente a la métrica?

Sí. El resultado se llama el grupo "Spin" . Una buena descripción general se encuentra en este documento .

En general, las álgebras de Clifford se crean a partir de un espacio vectorial arbitrario$V$(sobre un campo$\mathbb{F}$) y una norma cuadrática$Q : V \to \mathbb{F}$, dónde$\mathbb{F}$generalmente (ciertamente por los físicos) se toma como$\mathbb{R}$o$\mathbb{C}$. Si tiene una métrica, esa es una declaración un poco más fuerte que solo tener una norma cuadrática, por lo que ciertamente puede usarla para construir el álgebra de Clifford, al definir la norma como$Q(v) = g_{\mu \nu} v^\mu v^\nu$. Por otro lado, si tiene la norma, puede usarla para definir el producto interno entre dos vectores cualesquiera$v$y$w$por polarización :$g(v, w) = \frac{1}{2}[Q(v+w) - Q(v) - Q(w)]$. Por supuesto, eso solo funciona si puedes dividir por$2$, que no es el caso para todos los campos. Por otro lado, no recuerdo haber visto ninguna aplicación útil del álgebra de Clifford usando un campo que no sea$\mathbb{R}$o$\mathbb{C}$.

En el caso del espacio-tiempo, el espacio vectorial es simplemente el conjunto de$\gamma^\mu$vectores, que no deben considerarse como matrices complejas, sino como los vectores base habituales:$\hat{t}, \hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$. Este enfoque generalmente se llama álgebra geométrica . El campo debe tomarse realmente como$\mathbb{R}$(porque la estructura compleja que solemos usar en la mecánica cuántica en realidad aparece automáticamente en el álgebra de Clifford). Lo que obtienes se llama álgebra del espacio-tiempo .

Esta misma lógica se puede extender a otros espacios, de cualquier dimensión y firma (incluyendo firmas indefinidas y degeneradas). Cualquier dos vectores en el álgebra de Clifford se pueden multiplicar entre sí y, por lo tanto, se construye el producto anticonmutativo: el resultado se llama bivector. El conjunto de todos los bivectores forma el$\mathfrak{spin}$álgebra, donde el producto no es solo el producto de Clifford sino su conmutador. Más generalmente, podemos tomar cualquier número par de vectores y tomar su producto. Los elementos invertibles de esta forma nos dan el grupo Spin, relacionado con los bivectores a través de la exponenciación (tanto como el grupo de Lie está relacionado con el álgebra de Lie). Y transforman vectores por conjugación, lo que naturalmente deja invariante el producto interno. Así que esa es la respuesta a tu pregunta.

También tenemos una especie de inversa a la anterior:

Cada álgebra de Lie se puede representar como un álgebra bivectorial; por lo tanto, cada grupo de Lie se puede representar como un grupo de espín.

Este resultado se encuentra aquí . Si bien usan una especie de álgebra de Clifford "duplicada" en general, esto no siempre es necesario. Ese documento brinda una buena descripción general de estos problemas (al igual que el de los grupos Spin, aunque no con tanto detalle).