Derivación heurística de Wμ=12ϵμνσρPνJσρWμ=12ϵμνσρPνJσρW^\mu=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}P_\nu J_{\sigma\rho} usando una combinación de argumentos físicos y matemáticos

El significado intuitivo de los cuatro vectores de Pauli-Lubanski se explica fácilmente para partículas masivas.

Para una partícula masiva hay un marco de referencia en reposo con ella. En ese marco de referencia, los cuatro impulsos$P_a$solo tiene su componente temporal$a=0$con valor$m$. En ese marco de referencia, mirando la fórmula que escribiste, ves que$W^a$tiene solo tres componentes que no desaparecen$a=1,2,3$con el significado evidente de momento angular en reposo con la partícula (multiplicado por la masa) si se toma el significado de$J_{0a}=-J_{a0}$en cuenta. El valor de$W_aW^a$es independiente del marco de referencia, por lo que se puede calcular en reposo con la partícula que produce$m^2$por el cuadrado del momento angular en reposo con la partícula: el giro al cuadrado por$m^2$.

Dado que la acción del grupo de Poincaré es infinitesimalmente implementada por los generadores del grupo, el hecho de que$W_aW^a$es un invariante solo significa que conmuta con todos los generadores del grupo, es decir, es un operador Casimir.

La conjetura se basa en el requisito de la invariancia traslacional. En realidad,$J_{\mu\nu}$no conmuta con el operador de traducciones$P_{\mu}$. Esto significa que los candidatos$J_{\mu\nu}J^{\mu\nu}$,$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}J_{\mu\nu}J_{\alpha\beta}$sobre el papel del operador Casimir no son invariantes traslacionales.

Para construir el operador de Casimir invariante traslacional, podemos definir$C = W_{\mu...}W^{\mu...}$, dónde$W_{\mu...}$es un operador traslacional invariante. El único candidato posible (ya que$[P_{\mu},P_{\nu}] = 0$) es