¿GL(N,R)GL⁡(N,R)\operatorname{GL}(N,\mathbb{R}) es dueño de la representación del espinor? ¿Qué grupo es su grupo de cobertura? (Libro de texto QFT de Kaku)

En la página 54 del libro de texto QFT de Kaku, hay un dicho:

$\operatorname{GL}(N)$no tiene ninguna representación espinorial de dimensión finita.

Esto implica que$\operatorname{GL}(N)$Posee una representación espinorial de dimensión infinita. Mientras que en mi opinión, la representación espinorial de un grupo es la representación de su grupo de cobertura universal. Y el componente conectado de$\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$($n>2$) el grupo no es simplemente conexo y su grupo fundamental es$\mathbb{Z}_2$. Entonces, ¿qué grupo es su grupo de cobertura?

Mi pregunta:

1. Dado que el componente conectado de$\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$($n>2$) el grupo no es simplemente conexo y de acuerdo con el teorema de Lie, existe un grupo de Lie simple conexo cuyo álgebra de Lie es$\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$, entonces, ¿qué es este grupo de cobertura de$\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$? Si bien no puedo imaginar qué grupo puede cubrir el$\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$.

2. Ahora eso$\operatorname{GL}(N)$posee representación espinorial de dimensión infinita, puede mostrarme explícitamente, o darme alguna referencia que haya resuelto este problema.