¿Hay representaciones proyectivas del Grupo de Lorentz que NO provengan de un álgebra de Clifford?

Esta respuesta se basa en el artículo seminal de Berg, DeWitt-Morette, Gwo y Kramer (BDGK) sobre la física de las cubiertas dobles de los grupos de Lorentz.

Si bien, el artículo trata el caso general de múltiples dimensiones espaciales y temporales; en la siguiente respuesta, solo el$(3,1)$se considerará el caso. Además, solo se considerarán las representaciones de espinores de dimensión finita (no unitarias), ya que sabemos cómo promoverlas en representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Poincaré.

Primero, los grupos físicamente interesantes son las cubiertas dobles de$O(3,1)$en vez de$SO(3,1)$porque contienen distintos operadores de inversión de tiempo y paridad en lugar de su producto solamente (BDGK: Figura-1 página 17 y Figura-2 página 19).

Las cubiertas dobles de$O(3,1)$se denominan grupos Pin (sus vectores representativos se denominan Pinors).$O(3,1)$posee 8 tipos de cubiertas dobles llamadas$\mathrm{Pin}^{abc}(3,1)$($a,b.c\in \mathbb{Z_2}$correspondiente a (BDGK-apéndice C):

Solo dos de las cubiertas dobles anteriores se pueden obtener de un álgebra de Clifford a la que corresponden:$\Lambda_P^2 = -\Lambda_T^2 = -\Lambda_{PT}^2 = 1$y$\Lambda_T^2 = -\Lambda_P^2 = -\Lambda_{PT}^2 = 1$respectivamente. Estos grupos se denominan cliffordianos y generalmente se denotan por:$\mathrm{Pin}(3,1)$y$\mathrm{Pin}(1,3)$respectivamente.

Observaciones:

1. No tengo conocimiento de ninguna aplicación física de los grupos Pin no cliffordianos.

2. Básicamente, no conocemos los grupos Pin de las partículas elementales a excepción del neutrino en la desintegración doble beta sin neutrinos. BDGK sugiere algunos experimentos que pueden distinguir el tipo del grupo Pin.

1. Cualquier representación compleja irreducible de un álgebra de Clifford en$d$dimensiones tiene dimensión$2^{\lfloor d/2\rfloor}$. Puede encontrar una prueba de esta afirmación, por ejemplo, en esta publicación de Qmechanic .

2. Como ya dice la pregunta, cualquier representación de un álgebra de Clifford induce una representación de su correspondiente álgebra de Lorentz.

Entonces, tomemos una representación irreducible arbitraria del álgebra de Lorentz en cuatro dimensiones, etiquetada por$(s_1,s_2) \in (\frac {1}{2}\mathbb{Z})^2$de dimensión$D = (2s_1 + 1)(2s_2 + 1)$. Hay tres casos:

• $D < 4$: Este es solo el caso de uno$s_i = 1/2,1$y el otro siendo cero. El$(1/2,0)$-Las representaciones son los espinores de Weyl y son subrepresentaciones de las representaciones únicas irreducibles del álgebra de Clifford en cuatro dimensiones, los espinores de Dirac. El$(1,0)$-representaciones son las de (anti-)auto-dual 2-formas y no descienden del álgebra de Clifford, sin embargo, estos también tienen "fase$+1$" como una representación proyectiva, por lo que esto cae en el caso en que la pregunta considera la respuesta "obvia". ¹

• $D= 4$: El único irrep de cuatro dimensiones del grupo de Lorentz es$(1/2,1/2)$, los 4 vectores ordinarios, que no llevan una representación del álgebra de Clifford.

• $D > 4$: Ninguna irrep del álgebra de Lorentz de dimensión mayor que 4 puede ser compatible con una representación del álgebra de Clifford por los puntos 1. y 2. anteriores: Si hubiera una representación compatible del álgebra de Clifford, tendría que ser reducible por el punto 1, es decir, tener una subrepresentación adecuada. Pero por el punto 2, esto también induciría una subrepresentación adecuada del álgebra de Lorentz, lo que significa que la irrep no era irreducible, lo que produce una contradicción.

Por lo tanto, en particular, cualquier representación del álgebra de Lorentz con$D > 4$y$s_1 + s_2$no entero es una representación proyectiva que no proviene de una representación del álgebra de Clifford.

^{1 Una representación lineal del álgebra de Lorentz se integra a una representación lineal (y no meramente proyectiva) del grupo de Lorentz ortocrónico propio si y solo si$s_1 + s_2$es entero.}