Reglas de Feynman del Lagrangiano

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Reglas de Feynman del Lagrangiano

yosignificayo

Sé que ya hay preguntas sobre cómo determinar las reglas de Feynman dado un Lagrangiano en particular, pero esta pregunta se trata más de averiguar si entiendo correctamente cómo hacer esto. Me estoy preparando para un examen en QFT, así que todos los que me señalen lo que estoy haciendo mal son bienvenidos.

Entonces, en un examen antiguo sobre QFT que uso como preparación, se nos da el Lagrangiano

L = \partial_{m} ϕ^{*} \partial^{m} ϕ - {metro}^{2} ϕ^{*} ϕ + \frac{1}{2} \partial_{m} π \partial^{m} π - \sqrt{λ} (ϕ^{*} ϕ)^{2} + λ (ϕ^{*} ϕ) π^{2} - gramo (ϕ^{*} ϕ) π

$\mathscr{L} = \partial_\mu \phi^\ast\partial^\mu\phi-m^2\phi^\ast\phi + \frac{1}{2}\partial_\mu\pi\partial^\mu\pi -\sqrt{\lambda}(\phi^\ast\phi)^2+\lambda(\phi^\ast\phi)\pi^2-g(\phi^\ast\phi)\pi$

dónde $\phi$ es un complejo y $\pi$ un campo escalar real. Se supone que debemos escribir los propagadores y las reglas de los vértices sin pruebas.

Creo que los propagadores deberían estar dados por

\begin{aligned} D_{ϕ} & = \frac{i}{{pag}_{ϕ}^{2} - {metro}^{2} + i ϵ} & para ϕ \\ D_{π} & = \frac{i}{{pag}_{π}^{2} + i ϵ} & para π . \end{aligned}

$\begin{align} D_\phi &= \frac{i}{p_\phi^2-m^2+i\epsilon}\qquad &\text{for }\phi\\ D_\pi &= \frac{i}{p_\pi^2+i\epsilon}\qquad &\text{for } \pi. \end{align}$

Ahora la regla del vértice para $\mathscr{L}_1=-\sqrt{\lambda}(\phi^\ast\phi)^2$ debiera ser $i\mathcal{M}_1 = -4i\sqrt{\lambda}$ , la regla para $\mathscr{L}_2 = \lambda(\phi^\ast\phi)\pi^2$ debiera ser $i\mathcal{M}_2 = 2i\lambda$ y el de $\mathscr{L}_3 = -g(\phi^\ast\phi)\pi$ debe ser dado por $i\mathcal{M}_3 = -ig$ , donde el $\mathcal{M}_i$ son las amplitudes. ¿Son correctas estas reglas? Mi idea fue la siguiente:

Para una teoría con la interacción Lagrangiana $\mathscr{L}_\text{int} = \frac{g}{3!}\phi^3$ , el factor en la amplitud proveniente del vértice de interacción está dado por $ig$ . El factor $1/3!$ en el lagrangiano es una convención que tiene su origen en la potencia del campo $\phi$ . Entonces, una interacción entre dos $\phi$ 's y tres $\pi$ 's, por ejemplo, podría escribirse como $\mathscr{L}_\text{int} = \frac{1}{2!3!}\phi^2\pi^3$ . Al darse cuenta de que el factor $1/3!$ en el Lagrangiano de la $\phi^3$ -la teoría se desvanece en la regla del vértice, ingenuamente generalicé esto al Lagrangiano sobre el que se trata esta pregunta. en el término $\mathscr{L}_1 = -\sqrt{\lambda}(\phi^\ast\phi)^2$ , ambos campos están elevados a la segunda potencia, haciendo un factor de $2!2!=4$ aparecen en la regla de los vértices. Tal vez este procedimiento sea peligroso, pero me pregunto si es solo una coincidencia que funcione en este caso.

Estaré agradecido a cualquiera que pueda comentar sobre lo que hice.

Respuestas (1)

Reglas de Feynman del Lagrangiano

Florian Hechenberger · Answer 1

En primer lugar, esto parece bastante una pregunta de tarea que normalmente no debería formularse de esta forma. Sería útil si compartiera sus puntos de vista sobre el problema. ¿Cuáles fueron tus pensamientos? Entonces la gente realmente puede comentar sobre lo que hiciste. Además, formular el problema con tus propias palabras es la mejor manera de verificar lo que ya entiendes y lo que no.

Tus reglas de Feynman son correctas. Sin embargo, debe tener en cuenta que los propagadores que anotó son para una teoría libre ( $\lambda=g=0$ ), por lo que habrá correcciones de bucle de algunas potencias más altas en las constantes de acoplamiento (¡Intente contar el orden!). Los prefactores numéricos para los vértices surgen de tomar derivadas funcionales de la interacción Lagrangiana. Es decir, se deriva la interacción lagrangiana con respecto a $\phi, \phi ^*,\pi$ . Por cada derivada que tomaste obtienes una línea externa.

Actualizar:

Si solo desea los prefactores de vértice, simplemente puede contar la potencia de cada campo. Al final, estos son solo factores combinatorios de cómo organizar los diferentes campos. Tenga en cuenta que si su Lagrangiano consiste en campos fermiónicos, debe ser un poco más cuidadoso con el conteo. Le sugiero que eche un vistazo a su libro QFT favorito y lea un poco sobre el teorema de Wick.

Por lo general, divide el Lagrangiano en una parte libre (la que no tiene interacciones; es decir, toma el Lagrangiano completo y establece todos los acoplamientos $g$ , $\lambda$ , $...$ a cero) y una parte donde todas las interacciones $(\mathcal{L}_{int}=\mathcal{L}-\mathcal{L}_{free}$ ) están incluidos. El propagador se define como la función de dos puntos, es decir, una partícula que viaja de un punto del espacio-tiempo a otro. Pero, dado que la teoría bajo consideración permite interacciones, es mucho lo que puede suceder en el medio. Entonces, el propagador completo está dado por la suma de todas las funciones de dos puntos irreducibles (1PI) de una partícula (de las cuales hay infinitas, suprimidas por potencias superiores de los acoplamientos de los vértices correspondientes). por ejemplo hay un $\phi \phi^* \pi\pi$ vértice. Puedes conectar el $\phi$ y $\phi^*$ puntos usando un propagador y terminar con una función de dos puntos para $\pi$ de $\mathcal{O}({\lambda})$ .

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@Florian Hechenberger: Gracias por la respuesta. En realidad, esta pregunta proviene de un examen antiguo sobre QFT que utilizo como preparación para el examen real y por eso suena como un problema de tarea. Edité mi publicación en la que explico cómo llegué a los prefactores en las reglas de vértice. ¿Podría elaborar un poco sobre lo que quiere decir cuando dice que los propagadores son para una teoría libre? No sé muy bien a qué te refieres con esto.
@MeMeansMe: actualicé mi publicación. Y elaboré un poco sobre la teoría libre e interactiva. Espero que esto aclare mi respuesta anterior.

Reglas de Feynman del Lagrangiano

yosignificayo

Respuestas (1)

Florian Hechenberger

usuario191954

yosignificayo

Florian Hechenberger

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