¿Cómo se pueden leer las reglas de Feynman del Lagrangiano?

Tenga en cuenta que es casi imposible explicar cómo los cálculos QFT perturbativos se derivan de los lagrangianos, de modo que la respuesta es relativamente corta y detallada. Así que voy a escribir una respuesta introductoria. Si desea obtener más detalles sobre cualquiera de sus partes, puede buscar libros de texto o puede hacérmelo saber en los comentarios, en cuyo caso consideraré actualizar esta respuesta.

Supongamos que su modelo tiene$n$campos cuánticos (pueden estar organizados como multipletes de Poincaré o ser todos escalares, por lo que sigue no importa). La expresión genérica para el término cuadrático en el Lagrangiano es así

$$\mathcal{L}_2 = \frac{1}{2} \left( K_{ab} \partial_{\mu} \phi^{a} \partial^{\mu} \phi^{b} - M_{ab} \phi^{a} \phi^{b} \right).$$

(En realidad, si algunos de los campos tienen índices de espacio-tiempo, podría haber términos adicionales como$N_{\alpha a} \psi_{\mu}^{\alpha} \partial^{\mu}\phi^{a}$, pero se pueden tratar en el mismo asunto, por lo que no perderemos la generalidad si simplemente ignoramos este problema aquí).

Primero nos gustaría reexpresar este Lagrangiano, usando integración por partes (recordemos que el Lagrangiano se integra sobre el espacio-tiempo para dar la acción del sistema describiendo su dinámica), como sigue:

$$\mathcal{L}_2 = \frac{1}{2} \phi^{a} \hat{Q}_{a b} \phi^{b},$$

dónde$\hat{Q}$es el operador diferencial lineal de segundo orden que actúa sobre los campos. Se llama operador de Euler-Lagrange porque genera las ecuaciones clásicas de movimiento a través de

$$\hat{Q}_{ab} \phi^{b}_{\text{classical}} = 0.$$

Por ejemplo, para el multiplete de campos de Klein-Gordon resulta ser

$$\hat{Q}_{ab} = \delta_{ab} \Box + M_{ab},$$

dónde$M_{ab}$se llama matriz de masa. La base en la que$M_{ab}$Esta diagonal es una base adecuada para expresar campos asociados a partículas elementales, siendo los valores de la diagonal las masas al cuadrado de las partículas elementales. El operador de d'Alambert es$\Box = \partial_{\mu} \partial^{\mu}$.

En la teoría cuántica queremos calcular el propagador, o el producto ordenado en el tiempo de dos operadores de campo:

$$\Delta^{ab} (x, y) = \left< \phi^{a}(x) \phi^{b}(y) \right>.$$

Resulta que el propagador es igual a la función de Feynman Green del operador diferencial$\hat{Q}$, que se puede derivar en el formalismo de la integral de caminos:

$$\hat{Q}_{ab}(x) \Delta^{bc} (x, y) = i \delta_a^c \delta^{(4)} (x - y).$$

Esto es lo que significa tratar adecuadamente el término cuadrático en el Lagrangiano.

En este punto cabe mencionar que en ocasiones el operador$\hat{Q}_{ab}$es singular , es decir, no tiene inversa en la clase de funciones con condiciones de contorno de radiación. Esto se debe a la invariancia del calibre. El caso más simple donde esto aparece es el Maxwell Lagrangiano libre.

La forma moderna de lidiar con esto es a través de la manipulación formal con integrales de trayectoria llamada procedimiento de Faddeev-Popov, que introduce términos adicionales en el Lagrangiano (término de fijación de calibre y quizás campos fantasma). El lagrangiano resultante sigue siendo aplicable al mismo modelo físico (que está garantizado por el procedimiento de Faddeev-Popov), pero su operador diferencial no es singular y se puede calcular el propagador. Este propagador resulta ser no físico y depende del parámetro de fijación de calibre no físico, pero cuando se usa para calcular elementos de matriz S entre estados físicos, la dependencia del parámetro no físico desaparece y se restaura la invariancia de calibre.

(De hecho, la invariancia de calibre todavía está presente en el Lagrangiano modificado en forma de supersimetría BRST. No lo confunda con SUSY).

Ahora considere una perturbación del Lagrangiano, es decir, un término de orden superior. Nos ocupamos de tales perturbaciones utilizando, de manera bastante poco imaginativa, la teoría de perturbaciones. En el formalismo de integral de caminos se puede hacer mediante Taylor-expandiendo la exponencial de la interacción Lagrangiana y haciéndola parte del funcional de correlación, manteniendo el término cuadrático como funcional de acción efectiva. Entonces podemos aplicar el teorema de Wick (que solo es válido para acciones cuadráticas, pero bueno, eso es lo que queda después de expandir el término de interacción) y eso nos llevaría a las reglas de Feynman.

Esta parte suele ser la misma en todas las teorías, y las reglas finales de Feynman se pueden predecir fácilmente simplemente observando la estructura del término de interacción en el Lagrangiano. Eso es lo que significa "leer las reglas de Feynman".

Por ejemplo, considere un solo campo de Klein-Gordon con un término de interacción de cuarto orden

$$\mathcal{L}_4 = - \frac{\lambda}{4!} \phi^4.$$

Nos gustaría Taylor-expandirlo en cualquier expresión para la función de correlación de cualquier funcional$F$:

$$\left< F[\phi] \right> = \int D\phi \exp \left[ i \int (\mathcal{L}_2 + \mathcal{L}_4) \right] F[\phi] =$$

$$\left< F[\phi] \left( 1 + i \int \mathcal{L}_4 + \frac{i^2}{2} \intop_x \intop_y \mathcal{L}_4 (x) \mathcal{L}_4 (y) + \dots \right) \right>_0,$$

donde el subíndice$<>_0$significa que usamos la acción de la teoría libre, que es$\int \mathcal{L}_2$, para los que se aplica el teorema de Wick.

Cada integral en la serie anterior corresponde a la adición de un vértice de interacción al diagrama de Feynman. La expresión para el vértice es fácil de deducir: es igual a

$$- \frac{i \lambda}{4!} \int d^4 x,$$

siendo la integral sobre la posición del vértice. el factor de$4!$también aparece en el numerador porque tenemos exactamente$4!$formas de contratar 4 operadores en el mismo punto con otros 4 operadores por propagadores. Por lo tanto, los factores se cancelan muy bien (de hecho, fue la razón para elegir$\lambda$tal que$4!$entra en el denominador de$\mathcal{L}_4$en primer lugar).

Entonces, podríamos mantener$4!$en la expresión del vértice y considere la$4!$diferentes contracciones que aparecen después de usar el teorema de Wick no equivalente, o podemos considerarlas equivalentes y cancelar los factores de$4!$que es lo que se suele hacer en la literatura.

Espero que esto responda tu pregunta.