QFT: ¿Los propagadores son el inverso de los términos cuadráticos en LL\mathcal{L}?

Reglas de Feynman por derivadas funcionales

No es en general, solo coincide así para polinomios de cuerpos, sin derivadas ni otras complicaciones. En verdad, uno toma derivadas funcionales hasta que no quede ningún campo.

Por ejemplo, esquemáticamente,

$$-i\frac{\delta^4}{\delta \phi^4} \frac{\lambda}{4!} \phi^4 \to -i\lambda$$

que es toda la razón del factor de$4!$- es una convención conveniente, pero no un coeficiente necesario y la física sigue siendo la misma sin él. Más complejamente, podríamos tener,

$$-i\frac{\delta^2}{\delta \phi^2} \frac{\delta}{\delta A_\mu}g\phi A^\nu \partial_\nu \phi \to -ig(p_1^\mu + p_2^\mu)$$

que describe un acoplamiento vectorial a un escalar, donde$p_1$y$p_2$serían momentos marcando dos de las patas unidas a la$A\phi\phi$vértice.

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Términos cuadráticos

El término cinético y de masa es,

$$\mathcal L = \frac12 (\partial \phi)^2 - \frac12 m^2 \phi^2.$$

En el espacio de Fourier,$\partial_\mu \phi \to ip_\mu \phi$y así tenemos$(\partial \phi)^2$debe ir como$p^2 \phi^2$. Interpretando el inverso en el espacio de Fourier como el inverso multiplicativo, tenemos que el propagador va como,

$$\Delta \sim \frac{1}{p^2+m^2}.$$

Tenga en cuenta que para el contratérmino lagrangiano (cuando pasa a la renormalización), los contratérminos cinéticos y de masa se interpretan normalmente como interacciones y, por lo tanto, se toman derivadas funcionales, pero no se realiza ninguna inversión. Sin embargo, esto es una cuestión de elección, uno podría absorber coeficientes en el propagador en su lugar; conducen a la misma física.

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función de verde

Tenga en cuenta que un propagador, además de ser el inverso de los términos cuadráticos, también puede interpretarse como la función de Green de las ecuaciones de movimiento. Esta es una función que se puede utilizar para resolver las ecuaciones, a través de,

$$\phi(x) = \int \mathrm dx' \, G(x,x') f(x')$$

dónde$(\square + m^2)\phi(x) = f(x)$. Conceptualmente, de la misma manera que podemos pensar en una función como construida a partir de funciones delta, podemos pensar en una solución construida como funciones de Green ya que,

$$(\square + m^2)G(x) \sim \delta^{(n)}(x).$$

Al ser algo esquemático, puede pensar en una teoría cuántica de campos como un Lagrangiano "libre" (que no interactúa) que tiene soluciones que no interactúan entre sí, además de un Lagrangiano de interacción que les dice a los modos cómo interactuar. Los términos de interacción en el Lagrangiano crean los factores de vértice en las reglas de Feynman, pero el propagador es de la teoría libre de no interacción.

El propagador es la transformada de Fourier de la función de Green para las ecuaciones libres de movimiento; en su caso, la ecuación de movimiento es la ecuación de Klein-Gordon

$$\partial^2 \phi + m^2 \phi = 0.$$

La función de Green$G$es la solución a

$$\partial^2 G + m^2 G = \delta^4(x).$$

Si transformas con Fourier toda la ecuación, obtienes

$$-p^2 \tilde G + m^2 \tilde G = 1,$$

dónde$\tilde G$es la transformada de Fourier de$G$. Si resuelves esto para$\tilde G$, obtienes algo como tu propagador. Si mi memoria no me falla, el factor$i$es simplemente una convención por conveniencia. El$i\epsilon$término es un poco más complicado; Considere que para obtener la función de Green en el espacio de posición, debe integrar esta$p$-función espacial sobre$d^4k$. Esto generalmente se realiza como una integral de contorno compleja, y la$i\epsilon$factor controla qué contorno está eligiendo.

Puedo editar cuando tenga acceso a mis notas para proporcionar comentarios más específicos, pero esto debería dar una descripción general aproximada de cómo el propagador resulta de los términos "cuadráticos" en el lagrangiano (los que no interactúan, incluidos los derivados cuadráticos del lagrangiano). campo).

El truco principal es introducir las fuentes$J_k$. Si la acción cuadrática libre$^1$

$$S_2[\phi] ~:=~\frac{1}{2} \phi^k (S_2)_{k\ell} \phi^{\ell} \tag{1}$$ es no degenerada, entonces la función de partición libre es una integral gaussiana $$\begin{align} Z_2[J] ~:=~& \int {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S_2[\phi] +J_k \phi^k \right)\right\} \cr \stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}~& {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_{\ell}J_k (S_2^{-1})^{k\ell} \right\}. \end{align}\tag{2}$$ Ahora podemos proceder de 2 maneras:

1. Por un lado, si definimos el propagador libre como la función de 2 puntos, entonces calculamos

   $$\begin{align} \langle \phi^k \phi^{\ell}\rangle^{(0)}_{J=0} ~:=~&\frac{1}{Z_2[J]} \int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\phi^k\phi^{\ell}\cr & \left.\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S_2[\phi]+J_m \phi^m\right)\right\}\right|_{J=0} \cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\left.\frac{1}{Z_2[J]} \left(\frac{\hbar}{i}\right)^2\frac{\delta}{\delta J_k}\frac{\delta}{\delta J_{\ell}}Z_2[J]\right|_{J=0}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&i\hbar (S_2^{-1})^{k\ell},\end{align} \tag{3}$$ que responde a la pregunta del título de OP.

2. Por otro lado, si definimos el propagador libre como la función de Green para el operador diferencial de la acción cuadrática libre (1), entonces la pregunta del título de OP se deriva directamente de la propiedad definitoria de una función de Green.

El resto de la pregunta de OP es una cuestión de transformación de Fourier al espacio de momento.

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$^1$Usamos la notación condensada de DeWitt para no saturar la notación. Si$\phi^k$tiene paridad de Grassmann$|k|$, entonces la consistencia requiere las siguientes propiedades de simetría:

$$\begin{align} (S_2)_{k\ell}~=~&(-1)^{|k||\ell|+|k|+|\ell|}(S_2)_{\ell k} \cr (S_2^{-1})^{k\ell}~=~&(-1)^{|k||\ell|}(S_2^{-1})^{\ell k}. \end{align}\tag{4}$$