Factor de simetría en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4

Tengo problemas al tratar de entender cuál es realmente el factor de simetría de un diagrama de Feynman. De los libros entiendo que es un factor geométrico que obtienes por la cantidad de formas en que puedes deformar las líneas internas del diagrama para que se vea igual. Es decir, según tengo entendido, no tiene nada que ver con el número de contracciones que llevan a una misma topología (teorema de Wick), ni con la$4!$factor del Lagrangiano, ni con el$n!$factor de la expansión de la serie Dyson, y así sucesivamente.

Sin embargo, cuando veo algunas discusiones aquí, parece que no consideran este factor geométrico. Les haré un resumen de esta discusión :

Resumen

Considere el lagrangiano del campo escalar real dado por

$$\mathcal L = \frac{1}{2} (\partial \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4$$

Sin tener en cuenta las contribuciones del caracol, el único diagrama que contribuye a$\langle p_4 p_3 | T (\phi(y)^4 \phi(x)^4) | p_1 p_2 \rangle$en un orden de bucle está el llamado dinosaurio:

Comencemos con las patas externas a la izquierda. Hay ocho lugares posibles para unir la primera pata externa superior izquierda: se puede unir a uno de los cuatro posibles$\phi_x$campos, o a uno de los cuatro posibles$\phi_y$campos. La pata externa inferior izquierda solo tiene tres opciones, ya que si la primera pata unida a la$\phi_x$campo, esta pata también debe unirse a un$\phi_x$campo, y de manera similar para$\phi_y$. Entonces unir estas patas da un factor de$2\times 4\times 3$.

Ahora, hagamos las piernas de la derecha. Si las piernas de la izquierda unidas a$\phi_x$, las patas de la derecha deben unirse a$\phi_y$, y viceversa. Por lo tanto, solo hay cuatro opciones para la pata externa superior derecha y tres opciones para la pata externa superior izquierda. Por lo tanto, unir estas patas da un factor de$4\times 3$.

Finalmente, coloquemos las patas internas. La primera pata tiene dos lugares para unir, y la segunda solo tiene uno. Entonces obtenemos un factor de$2$.

En general, la serie Dyson nos brinda una$\frac{1}{2!}$, y los vértices nos dan un$\frac{1}{4!4!}$, entonces el factor de simetría es

$$\frac{2\times 4 \times 3\times 4\times 3\times 2}{2!4!4!}=\frac{1}{2}$$

Fin del resumen

Lo que Jahan Claes hace aquí es tener en cuenta la$\frac{1}{(4!)^2}$factorizar de los dos vértices; el$\frac{1}{2!}$factor de la expansión de Dyson de la exponencial, que se cancela con la$2!$del intercambio de roles de los dos vértices; el$4\times 3 \times 4 \times 3$de las contracciones de las piernas externas con los campos; y un adicional$2$de las contracciones de los campos internos.

¿Deberíamos también dividir esto por 2 para considerar la permutación de las líneas internas que conducen al mismo diagrama?

Si ese es el caso, ¿por qué tenemos que descartar uno de esos diagramas repetidos? ¿No significaría que este tipo de diagramas simplemente aportan más que otros diagramas que no tienen ese factor geométrico?