Factor de simetría a través del teorema de Wick

Question

Factor de simetría a través del teorema de Wick

Física
simetría
teorema de la mecha
Feynman-diagramas
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

c y f

Considere el lagrangiano del campo escalar real dado por

L = \frac{1}{2} (\partial ϕ)^{2} - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2} - \frac{λ}{4!} ϕ^{4}

$\mathcal L = \frac{1}{2} (\partial \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4$

Sin tener en cuenta las contribuciones del caracol, el único diagrama que contribuye a $\langle p_4 p_3 | T (\phi(y)^4 \phi(x)^4) | p_1 p_2 \rangle$ en un orden de bucle está el llamado dinosaurio:

Argumentar el factor de simetría $S$ de este diagrama, digo que hay 4 opciones para un $\phi_y$ campo a contratar con uno de los estados finales y luego 3 opciones para otro $\phi_y$ campo a contratar con el estado final restante. Mismos argumentos para el $\phi_x$ campos y sus contracciones con los estados iniciales. Esto deja 2! permutaciones de los propagadores entre $x$ y $y$ . Dos vértices => tienen factor $(1/4!)^2$ y dicho diagrama se generaría en segundo orden en la expansión de Dyson => tener factor $1/2$ . Poniendo todo esto junto obtengo

S^{- 1} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{4! \cdot 4! \cdot 2} = \frac{1}{4}

$S^{-1} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{4! \cdot 4! \cdot 2} = \frac{1}{4}$ Creo que la respuesta debería ser

1 / 2

$1/2$ Entonces, ¿puede alguien ayudarme a ver dónde perdí un factor de

2

$2$ ?

tambien podria evaluar

⟨ {pag}_{4} {pag}_{3} | T (ϕ (y)^{4} ϕ (X)^{4}) | {pag}_{1} {pag}_{2} ⟩ = ⟨ {pag}_{4} {pag}_{3} | : ϕ (y)^{4} ϕ (X)^{4} : | {pag}_{1} {pag}_{2} ⟩ + \dots + (contrato (ϕ (X) ϕ (y)))^{2} ⟨ {pag}_{4} {pag}_{3} | : ϕ (y)^{2} ϕ (X)^{2} : | {pag}_{1} {pag}_{2} ⟩ + \dots

$\langle p_4 p_3 | T (\phi(y)^4 \phi(x)^4) | p_1 p_2 \rangle = \langle p_4 p_3 | : \phi(y)^4 \phi(x)^4 : | p_1 p_2 \rangle + \dots + (\text{contract}(\phi(x) \phi(y)))^2 \langle p_4 p_3 | : \phi(y)^2 \phi(x)^2 :| p_1 p_2 \rangle + \dots$ donde los puntos indican diagramas generados a través de este correlacionador que no contribuyen en un ciclo. (No conozco el látex para el símbolo de contracción de Wick, así que solo escribo contrato). ¿Hay alguna forma de averiguar el factor de simetría calculando el término

(contract (ϕ (x) ϕ (y)))^{2} ⟨ p_{4} p_{3} | : ϕ (y)^{2} ϕ (x)^{2} : | p_{1} p_{2} ⟩ ?

$(\text{contract}(\phi(x) \phi(y)))^2 \langle p_4 p_3 | : \phi(y)^2 \phi(x)^2: | p_1 p_2 \rangle?$

Respuestas (2)

Factor de simetría a través del teorema de Wick

jahan claes · Answer 1

Comencemos con las patas externas a la izquierda. Hay ocho lugares posibles para unir la primera pata externa superior izquierda: se puede unir a uno de los cuatro posibles $\phi_x$ campos, o a uno de los cuatro posibles $\phi_y$ campos. La pata externa inferior izquierda solo tiene tres opciones, ya que si la primera pata unida a la $\phi_x$ campo, esta pata también debe unirse a un $\phi_x$ campo, y de manera similar para $\phi_y$ . Entonces unir estas patas da un factor de $2\times 4\times 3$ .

Ahora, hagamos las piernas de la derecha. Si las piernas de la izquierda unidas a $\phi_x$ , las patas de la derecha deben unirse a $\phi_y$ , y viceversa. Por lo tanto, solo hay cuatro opciones para la pata externa superior derecha y tres opciones para la pata externa superior izquierda. Por lo tanto, unir estas patas da un factor de $4\times 3$ .

Finalmente, coloquemos las patas internas. La primera pata tiene dos lugares para unir, y la segunda solo tiene uno. Entonces obtenemos un factor de $2$ .

En general, la serie Dyson nos brinda una $\frac{1}{2!}$ , y los vértices nos dan un $\frac{1}{4!4!}$ , entonces el factor de simetría es

\frac{2 \times 4 \times 3 \times 4 \times 3 \times 2}{2! 4! 4!} = \frac{1}{2}

$\frac{2\times 4 \times 3\times 4\times 3\times 2}{2!4!4!}=\frac{1}{2}$

Su error fue descuidar el factor de dos que surge de permutar el papel de $\phi_x$ y $\phi_y$ .

Gracias por tu respuesta, pero noté el factor de $2$ viniendo de unir las patas internas, es solo que tenía un factor adicional de $2$ en el denominador también (proveniente de la expansión de la exponencial en la expansión de Dyson) que canceló esto. ¿Por qué no tiene este factor de 2 de la expansión de Dyson en su respuesta?
@CAF Oh, mi error. Pensé que tu factor de 2 provenía de intercambiar $\phi_x$ y $\phi_y$ . En general, el factor de $n!$ de la expansión de Dyson casi siempre cancela el factor de $n!$ viniendo de permutar los vértices, así que descuidé ambos factores. voy a editar
¡Gracias! Sí, creo que casi entendí, pero luego traté de aplicar mi ejemplo al diagrama de puesta de sol de dos bucles en $\phi^4$ con dos patas externas. Eso tiene factor de simetría 1/12. Dije que había 4 formas de adjuntar un campo x al campo externo y 4 formas de adjuntar un campo y al otro campo externo. Eso deja 3! Formas de unir los propagadores. mi numerador es entonces $4 \cdot 4 \cdot 3!$ y el denominador es $4! \cdot 4! \cdot 2$ Esto produce la respuesta correcta, pero aquí no tomé en cuenta el factor de 2 que proviene de permutar el papel de x e y. +1
@CAF Según Peskin y Schroder, el diagrama del atardecer tiene un factor de simetría de 1/6. No sé de dónde encontraste 1/12, pero estoy bastante seguro de que no está bien.
¡Gracias! Sí, parece que la puesta de sol de dos bucles de vacío tiene un factor de simetría de 1/12, así que lo recordé mal. Finalmente, solo quería entender qué significa 'permutar el papel de x e y': ¿es que en la prescripción de las reglas coordinadas de Feynman, para cada vértice de interacción debemos tener una integral sobre este vértice, por lo que al permutar x e y arreglar efectivamente los estados inicial y final pero adjuntar el inicial a y digamos y el final a x (en lugar de al revés como se considera en mi diagrama anterior)?
@CAF Eso es básicamente todo. Usted tiene un $\phi_x$ y un $\phi_y$ vértice, y puedes poner $\phi_x$ en el lado derecho de su diagrama, o ponga $\phi_y$ en el lado derecho. Así que hay un factor de dos.
¡Gracias! Acepté la respuesta ... También me preguntaba si tenía algún comentario final con respecto a la última parte de mi pregunta en mi OP donde hablo sobre intentar obtener el factor de simetría mediante un cálculo explícito utilizando el teorema de Wick.
@CAF Bueno, usando el teorema de Wick, solo está contando la cantidad de formas de contratar campos con otros campos y/o estados externos. Eso es exactamente lo mismo que contar la cantidad de formas de conectar vértices entre sí y/o estados externos.
Veo. Acabo de ver tratamientos en los que reescriben explícitamente los campos restantes en el correlacionador (es decir, aquellos en $\langle p_3 p_4 | : \phi(x)^2 \phi(y)^2 : |p_1 p_2 \rangle$ multiplicando la doble contracción) en términos de operadores de aniquilación y creación, pero supongo que al hacer este cálculo obtenemos todo tipo de diagramas que contribuyen al correlador y los coeficientes numéricos frente a cada diagrama representan el factor de simetría, ¿quizás? ¡Gracias por tu ayuda! :)
El teorema de @CAF Wick dice que la amplitud viene dada por todas las contracciones posibles. Entonces solo necesitas contar el número de contracciones que corresponden al diagrama que dibujaste.
¡Gracias! Tiene sentido: también respondí mi propia pregunta solo para dejar el cálculo explícito con todo detalle sangriento :)

c y f · Answer 2

El diagrama de interés (el $s$ canal dinosaurio) se genera en segundo orden en la expansión de Dyson (junto con el $t$ y $u$ canales diagramas de dinosaurios y el caracol $1 \text{PI}$ diagramas reducibles) dentro del correlador $\langle p_4 p_3 | T( \mathcal L(y) \mathcal L(x)) | p_1 p_2 \rangle$ . Usando el teorema de Wick, podemos escribir esto explícitamente como

⟨ {pag}_{4} {pag}_{3} | T (L (y) L (X)) | {pag}_{1} {pag}_{2} ⟩ = ⟨ {pag}_{4} {pag}_{3} | : ϕ (y)^{4} ϕ (X)^{4} : | {pag}_{1} {pag}_{2} ⟩ + \dots + X (C (ϕ (y) ϕ (X)))^{2} ⟨ {pag}_{4} {pag}_{3} | : ϕ (y)^{2} ϕ (X)^{2} : | {pag}_{1} {pag}_{2} ⟩ + \dots

$\langle p_4 p_3 | T( \mathcal L(y) \mathcal L(x)) | p_1 p_2 \rangle = \langle p_4 p_3 | : \phi(y)^4 \phi(x)^4 : | p_1 p_2 \rangle + \dots + X(\text{C}(\phi (y) \phi(x)))^2 \langle p_4 p_3 | : \phi(y)^2 \phi(x)^2 : | p_1 p_2 \rangle + \dots$ donde los puntos indican otros diagramas que no son de interés,

L (x) = - \frac{λ}{4} ϕ (x)^{4}

$\mathcal L(x) = -\frac{\lambda}{4} \phi(x)^4$ y

X

$X$ es el número de formas en que la contracción

(C (ϕ (y) ϕ (x)))^{2}

$(\text{C}(\phi(y) \phi(x)))^2$ se puede formar.

Hay cuatro posibles $\phi(x)$ campos que se pueden contratar con cuatro posibles $\phi(y)$ campos. Esto significa que aparece una sola contracción $4 \cdot 4$ veces. Hay entonces tres $\phi(x)$ campos a contratar con tres $\phi(y)$ campos. Esto da un factor $3 \cdot 3$ . Para evitar un conteo excesivo, dividimos por $2!$ . Por lo tanto,

X = \frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3}{2!}

$X = \frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3}{2!}$

Ahora, podemos escribir el correlador restante en el que los campos se contraen con los estados externos de entrada y salida en términos de operadores de creación y aniquilación de campos para producir

⟨ {pag}_{4} {pag}_{3} | : ϕ (y)^{2} ϕ (X)^{2} : | {pag}_{1} {pag}_{2} ⟩ = 4 ⟨ {pag}_{4} {pag}_{3} | (ϕ (y)^{-} ϕ (X)^{-} ϕ (y)^{+} ϕ (X)^{+}) | {pag}_{1} {pag}_{2} ⟩ .

$\langle p_4 p_3 | : \phi(y)^2 \phi(x)^2 : | p_1 p_2 \rangle = 4 \langle p_4 p_3 |(\phi(y)^- \phi(x)^- \phi(y)^+\phi(x)^+ )| p_1 p_2 \rangle.$ donde ordenamos explícitamente lo normal. El cálculo conduce a

⟨ {pag}_{4} {pag}_{3} | : ϕ (y)^{2} ϕ (X)^{2} : | {pag}_{1} {pag}_{2} ⟩ = 4 ({mi}^{- i ({pag}_{1} + {pag}_{2}) y} {mi}^{i ({pag}_{3} + {pag}_{4}) X} + {\begin{cases} {pag}_{1} \to - {pag}_{4} \\ {pag}_{2} \to {pag}_{1} \\ {pag}_{3} \to {pag}_{3} \\ {pag}_{4} \to - {pag}_{2} \end{cases} + {\begin{cases} {pag}_{1} \to - {pag}_{4} \\ {pag}_{2} \to {pag}_{2} \\ {pag}_{3} \to {pag}_{3} \\ {pag}_{4} \to - {pag}_{1} \end{cases} + {y \leftrightarrow X})

$\langle p_4 p_3 | : \phi(y)^2 \phi(x)^2 : | p_1 p_2 \rangle = 4 \left(e^{-i(p_1 +p_2)y} e^{i (p_3+p_4)x} + \begin{cases} p_1 \rightarrow -p_4 \\ p_2 \rightarrow p_1 \\ p_3 \rightarrow p_3 \\ p_4 \rightarrow -p_2 \end{cases} + \begin{cases} p_1 \rightarrow -p_4 \\ p_2 \rightarrow p_2 \\ p_3 \rightarrow p_3 \\ p_4 \rightarrow -p_1 \end{cases} + \left\{ y \leftrightarrow x \right\} \right)$ donde las permutaciones de los momentos dentro de las llaves dan lugar a la

t

$t$ y

u

$u$ canalizar diagramas de dinosaurios. Centrándose sólo en el

s

$s$ contribución del canal y la inserción de nuevo en el

T

$\mathcal T$ elemento de la matriz obtenemos la expresión

A = \frac{(- λ)^{2}}{(4!)^{2}} \int d^{4} y d^{4} X \frac{i^{2}}{2!} (\frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3}{2!}) (i Δ_{F} (y - X))^{2} 4 ({mi}^{- i ({pag}_{1} + {pag}_{2}) y} {mi}^{i ({pag}_{3} + {pag}_{4}) X} + (y \leftrightarrow X)),

$\mathcal A = \frac{(- \lambda)^2}{(4!)^2} \int \text{d}^4 y \,\,\text{d}^4 x \frac{\mathrm{i}^2}{2!} \left(\frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3}{2!}\right) (\mathrm{i} \Delta_F(y-x))^2 4(e^{-i(p_1 +p_2)y} e^{i (p_3+p_4)x} + (y \leftrightarrow x)),$ con

(C (ϕ (y) ϕ (x)))^{2} \equiv (i Δ_{F} (y - x))^{2}

$(C(\phi(y) \phi(x)))^2 \equiv (\mathrm{i} \Delta_F (y-x))^2$ , el propagador de Feynman. El

(y \leftrightarrow x)

$( y \leftrightarrow x)$ término produce la misma contribución que la que se muestra, fácilmente visible al volver a etiquetar los índices en las medidas de espacio-tiempo. Recogiendo todos los factores numéricos frente a la integración llegamos a

A = \underset{1 / 2}{\underset{⏟}{(\frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2}{4! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 2!})}} (- i λ)^{2} \int d^{4} y d^{4} X (i Δ_{F} (y - X))^{2} {mi}^{- i ({pag}_{1} + {pag}_{2}) y} {mi}^{i ({pag}_{3} + {pag}_{4}) X}

$\mathcal A = \underbrace{\left(\frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2}{4!\cdot 4! \cdot 2! \cdot 2!}\right)}_{1/2} (-\mathrm{i}\lambda)^2 \int \text{d}^4 y \,\,\text{d}^4 x \,\,(\mathrm{i} \Delta_F(y-x))^2 e^{-i(p_1 +p_2)y} e^{i (p_3+p_4)x}$ que es la representación en el espacio de coordenadas (fácilmente recuperada usando las reglas de Feynman en el espacio de posiciones) del diagrama en cuestión con factor de simetría

S = 2

$S = 2$ .

Factor de simetría a través del teorema de Wick

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