Pregunta sobre caras de un simplex y relación con complejos

Estoy leyendo el libro de Hatcher sobre topología algebraica, p103:

Dejar$[v_0, \dots, v_n]$frijol$n$-símplex. una cara de$[v_0, \dots, v_n]$es el$(n-1)$-simplex obtenido eliminando un vértice$v_i$de lo dado$n$-símplex.

Hatcher adopta la siguiente convención:

Los vértices de cualquier cara siempre estarán ordenados según su orden en el símplex mayor.

hay un especial$n$-símplex$\Delta^n:= \{(t_0, \dots, t_n): \sum_i t_i = 1, t_0, \dots, t_n \geq 0 \}$y un homeomorfismo lineal canónico

$$\Delta^n \to [v_0, \dots, v_n]: (t_0, \dots, t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i$$

A$\Delta$-complejo en un espacio$X$es una colección de mapas$\sigma_\alpha: \Delta^n \to X$tal que

(i) ....

(ii) Cada restricción de$\sigma_\alpha$a una cara de$\Delta^n$es uno de los mapas$\sigma_\beta: \Delta^{n-1} \to X$. Aquí estamos identificando la cara de$\Delta^n$con$\Delta^{n-1}$por el homeomorfismo lineal canónico entre ellos que conserva el ordenamiento de los vértices.

(iii)...

Pregunta : ¿Cómo funciona esta identificación? Di que tengo el mapa$\sigma_\alpha$y el n-simple$\Delta^n$, que puedo escribir como

$$\Delta^n := [e_0, \dots, e_n]$$ con$e_0, \dots, e_n$la base canónica de$\mathbb{R}^{n+1}$. Por ejemplo, restringir$\sigma_\alpha$a la cara que nos ponemos al dejar de lado$e_2$. Así terminamos con la cara.$[e_0, e_1, e_3, \dots, e_n]$.

Considere el homeomorfismo canónico$\psi: \Delta^{n-1}\to [e_0, e_1, e_3, \dots, e_n]$envío (por abuso de usar la misma notación para los vectores base)$e_0 \mapsto e_0, e_1 \mapsto e_1, e_2 \mapsto e_3, e_3 \mapsto e_4, \dots$

¿Significa esto que debe haber un mapa$\sigma_\beta: \Delta^{n-1} \to X$en nuestra colección tal que$\sigma_\beta \circ \psi^{-1} =\sigma_\alpha\vert_{[e_0,e_1, e_3, \dots, e_n]}$?

¿He entendido cómo funciona esto correctamente?