operador límite de una homología de suma singular

https://www.math.ru.nl/~mgroth/teaching/algtopI14/Lecture01.pdf

Estoy usando las notaciones de este enlace. Entonces, tengo que calcular el operador de límite.$\partial(\sum_{i=0}^{n} d_i^n)$dónde$\Delta^n$es el estándar$n$símplex y$d_i: \Delta^{n-1} \mapsto \Delta^n$es el mapa de la cara.

Tengo dos preguntas:

1. Cómo resolví el problema: usé el hecho de que$\partial(\sum_{i=0}^{n} d_i^n)=\sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k d_i \circ d_k$y luego usé la fórmula que$d_i \circ d_k = d_k \circ d_{i-1}$cuando$0 \le k < i \le n+1$. Así que dividí mi suma en tres partes: para$k \le i-1$,$k=i$y$k \ge i+1$. Siento que la primera y la tercera suma deberían cancelarse entre sí debido a la relación que mencioné antes:$d_i \circ d_k = d_k \circ d_{i-1}$cuando$0 \le k < i \le n+1$. ¿Es esto correcto? ¿Hay alguna manera de escribir esto rigurosamente?

2. Ahora, mi segunda pregunta es: sé que un singular$n$símplex en$X$es un mapa continuo$\sigma$de$\Delta^n$a$X$dónde$X$es un espacio topológico. podemos calcular$\partial(\sigma)$usando la suma alterna, es decir$\partial(\sigma)= \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma \circ d_i$dónde$d_i$es el mapa de la cara. ¿Significa esto que en mi problema,$X$es$\Delta^n$y podemos considerar$d_i$en sí mismo como un singular$n$-simple? ¿Hay un nombre particular para tal$n$símplex?

Solo estoy familiarizado con la homología singular, por lo que no estoy familiarizado con la homología simiplicial o el complejo delta.