¿Por qué puedes dar la vuelta a la ropa?

Primero, una advertencia. Sospecho que es probable que esta respuesta no sea inmediatamente comprensible. Hay una configuración formal para su pregunta, hay herramientas disponibles para entender lo que está pasando. No son herramientas especialmente ligeras, pero existen y merecen ser mencionadas. Antes de escribir el teorema principal, permítanme establecer alguna terminología. Las herramientas pertenecen a una asignatura denominada teoría de variedades y topología algebraica . Los nombres de las herramientas que voy a usar son cosas como: el teorema de extensión de isotopía, haces de fibra, fibraciones y grupos de homotopía.

tienes una superficie$\Sigma$, es tu camiseta o cualquier otra cosa que te interese, alguna superficie en un espacio tridimensional. Las superficies tienen grupos de automorfismo, déjame llamarlo$\operatorname{Aut}(\Sigma)$. Estos son, digamos, todos los auto-homeomorfismos o difeomorfismos de la superficie. Y las superficies pueden sentarse en el espacio. Una forma de poner una superficie en el espacio se llama incrustación. Llamemos a todas las incrustaciones de la superficie$\operatorname{Emb}(\Sigma, \mathbb R^3)$.$\operatorname{Emb}(\Sigma, \mathbb R^3)$es un conjunto, pero en el tema de la topología estos conjuntos también tienen una topología natural. Pensamos en ellos como un espacio donde las incrustaciones "cercanas" son casi las mismas, excepto quizás por un pequeño movimiento aquí o allá. La topología en el conjunto de incrustaciones se denomina topología compacta abierta (consulte Wikipedia para obtener detalles sobre la mayoría de estas definiciones).

Bien, ahora hay algunas tonterías formales. Mira el espacio del cociente$\operatorname{Emb}(\Sigma, \mathbb R^3)/\operatorname{Aut}(\Sigma)$. Puedes pensar en esto como todas las formas$\Sigma$puede sentarse en el espacio, pero sin ningún tipo de etiquetado: la superficie no tiene parametrización. Así que es el espacio de todos los subespacios de$\mathbb R^3$que resultan ser homeomorfos a su superficie.

Richard Palais tiene un teorema muy bueno que pone todo esto en un contexto agradable. El preámbulo es que necesitamos pensar en todo como si viviese en el mundo de las variedades suaves: incrustaciones suaves,$\operatorname{Aut}(\Sigma)$es el grupo de difeomorfismo de la superficie, etc.

Hay dos haces de fibras localmente triviales (o algo más fácil de probar: fibraciones de Serre), este es el teorema de extensión de isotopía "global":

$$\operatorname{Diff}(\mathbb R^3, \Sigma) \to \operatorname{Diff}(\mathbb R^3) \to \operatorname{Emb}(\Sigma, \mathbb R^3)/\operatorname{Aut}(\Sigma)$$

$$\operatorname{Diff}(\mathbb R^3 \operatorname{fix} \Sigma) \to \operatorname{Diff}(\mathbb R^3, \Sigma) \to \operatorname{Aut}(\Sigma)$$ aquí$\operatorname{Diff}(\mathbb R^3)$indica difeomorfismos de$\mathbb R^3$que son la identidad fuera de una bola suficientemente grande, digamos.

Entonces, el teorema de Palais, junto con la homotopía de la secuencia exacta larga de una fibración, le brinda un lenguaje que le permite traducir entre automorfismos de su superficie y movimientos de la superficie en el espacio.

Es un teorema de Jean Cerf que$\operatorname{Diff}(\mathbb R^3)$está conectado. Una pequeña secuencia de diagramas dice que un automorfismo de una superficie puede realizarse mediante un movimiento de esa superficie en 3 espacios si y solo si ese automorfismo de la superficie se extiende a un automorfismo de 3 espacios. Para superficies cerradas, el teorema de separación de Jordan-Brouwer le impide dar la vuelta a la superficie. Pero para superficies no cerradas, no tiene herramientas.

Para averiguar si puede realizar un automorfismo como un movimiento, literalmente debe intentar extenderlo "a mano". Este es un fenómeno muy general: tiene una variedad sentada en otra, pero rara vez un automorfismo de la subvariedad se extiende a la variedad ambiental. Verá que este fenómeno también ocurre en varias otras ramas de las matemáticas: un automorfismo de un subgrupo no siempre se extiende al grupo ambiental, etc.

Así que prueba tu suerte e intenta construir la extensión tú mismo. En un sentido vago, se trata de una analogía formal entre el misterio visceral de dar la vuelta a la superficie y una especie de problema matemático formalizado, pero de una sensación fundamentalmente análoga.

Estamos buscando automorfismos que inviertan la orientación. Para una superficie arbitraria con límite en 3 espacios, no está claro si puede dar la vuelta a la superficie. Esto se debe a que la superficie podría estar anudada. Las superficies sin nudos son ejemplos como su camiseta. Tratemos de cocinar algo que no se pueda voltear.

El grupo de automorfismos de una esfera perforada 3 veces tiene 12 componentes de camino (12 elementos hasta la isotopía). Hay 6 elementos que conservan la orientación y 6 que la invierten. En particular, los automorfismos que invierten la orientación invierten la orientación de todos los círculos límite. Entonces, si pudiera crear un par de pantalones anudados (superficie perforada 3 veces) de modo que sus círculos límite no admitieran una simetría que invirtiera las orientaciones de los tres círculos simultáneamente, estaría listo.

Quizás esto no te parezca una reducción, pero lo es.

Por ejemplo, hay cosas llamadas nudos no invertibles:

http://en.wikipedia.org/wiki/Nudo_invertible

Entonces, ¿cómo cocinamos un par de pantalones anudados con eso?

Aquí está la idea. El nudo no invertible en el enlace de arriba a veces se llama$8_{17}$. Aquí hay otra imagen de ella:

http://katlas.org/wiki/8_17

Aquí hay una variante de eso.

Interprete esta imagen como una cinta de papel que tiene tres círculos límite. Un círculo límite no está anudado. Uno es$8_{17}$. El otro es algún otro nudo.

Resulta que otro nudo no es baladí, ni lo es$8_{17}$.

Entonces, ¿por qué no se puede dar la vuelta a este par de pantalones anudados? Bueno, los tres nudos son distintos, y$8_{17}$no se puede revertir.

La razón por la que sé que el otro nudo no es$8_{17}$? Es un nudo hiperbólico y tiene un diferente ($4.40083...$) volumen hiperbólico que$8_{17}$($10.9859...$).

FYI: en cierto sentido, esta es una de las superficies más simples con un límite no trivial que no se puede dar la vuelta. Todos los discos se pueden girar del revés. Del mismo modo, todos los anillos (independientemente de cómo estén anudados) se pueden dar la vuelta. Entonces, para las superficies de género cero, 3 componentes de contorno es lo mínimo que puede tener si está buscando una superficie que no se pueda dar la vuelta.

editado para corregir el comentario de Jason.

comentario añadido más adelante: Te sugiero que si compras una prenda de esta forma la devuelvas al fabricante.

Todo lo que llevo puesto es una esfera topológica, con agujeros (las camisetas tienen 4, los pantalones 3, los zapatos y las medias 1) en cuyo caso cualquier agujero sirve.

En lugar de una camisa de manga larga con los brazos cosidos, considere un par de pantalones con las piernas cosidas para formar un toroide topológico con un agujero (de modo que si los usara, sus pies se tocarían y sería imposible ponerlos). tus zapatos puestos). Este par de pantalones tiene dos parámetros que son aproximadamente constantes, la circunferencia de la pierna y la longitud total de las dos piernas.

Cuando se le da la vuelta a través de la cintura, estos parámetros cambian de función, por lo que tendrá un tubo del largo de la pernera de un pantalón con una abertura en cada extremo, igual que si hubiera dado la vuelta a una pierna y empujado el otra pierna a través de ella antes de coser.

Creo que esto sería posible con ropa toroidal real (por ejemplo, una falda) siempre que sea lo suficientemente delgada, porque el proceso no requiere ningún estiramiento.

Voy a tratar de dar una versión más ligera de mi respuesta anterior. Preferiría no editar más el anterior, así que aquí va otra respuesta. Quiero dejar en claro que esta respuesta es para usted , no para su sobrino de 10 años. Cómo traduces esta respuesta a cualquier persona depende más de ti y de esa persona que de cualquier otra cosa.

Eche un vistazo a la página de Wikipedia para el difeomorfismo . En particular, la imagen principal

Cuando miro esa imagen, veo la cuadrícula de coordenadas cartesianas estándar, pero un poco deformada.

Hay un "gran teorema" en un tema llamado Teoría múltiple y su nombre es "Teorema de extensión de isotopía". Además, tiene mucho que ver con este tipo de imágenes.

El teorema de extensión de la isotopía es más o menos esta construcción: digamos que tiene un poco de caucho y está sentado en un medio de epoxi líquido que está casi fraguado. Además, imagine que el epoxi es multicolor. Entonces, cuando mueva la broca de goma en el epoxi, el epoxi "seguirá" el objeto de goma. Si el epoxi tenía una carita feliz coloreada originalmente, después de mover la goma, verás una carita feliz deformada.

Entonces obtienes imágenes que se parecen mucho a la pintura mezclada. Revuelva varias manchas de pintura y la pintura se distorsionará. Cuanto más revuelves, más se mezcla y se vuelve cada vez más difícil ver la imagen original. Lo importante es que la pintura mezclada es una especie de "registro" de cómo moviste el objeto de goma. Y si tu movimiento del objeto de goma lo devuelve a su posición inicial, hay una función

$$f : X \to X$$

dónde$X$es todas las posiciones fuera de su objeto de goma. Dado$x \in X$puede preguntar dónde está la partícula de pintura en la posición$x$fue después de la mezcla, y llama a esa posición$f(x)$.

Toda mi charla sobre haces de fibras y grupos de homotopía en la respuesta anterior fue una codificación de "alto nivel" de la idea anterior. Un paso intermedio en la formalización de esta idea es la solución de una ecuación diferencial ordinaria, y esa ecuación diferencial es esencialmente la "idea de mezclar pintura" anterior, en caso de que desee analizar este tema con más detalle más adelante.

Entonces, ¿qué significa esto? Un movimiento de un objeto desde una posición inicial de regreso a la posición inicial le da una idea de cómo "mezclar pintura" fuera del objeto. O dicho de otra manera, te da un automorfismo del complemento, en nuestro caso es una función biyectiva continua 1-1 entre el espacio tridimensional sin la prenda y él mismo.

Puede que le resulte extraño, pero los matemáticos han estado estudiando la "mezcla de pintura" en todo tipo de objetos matemáticos, incluido "el espacio exterior de la ropa" y objetos mucho más extraños durante más de 100 años. Este es el tema de los sistemas dinámicos.. Los "complementos de prendas de vestir" son un caso muy especial, ya que son subconjuntos del espacio euclidiano tridimensional y, por lo tanto, son 3 variedades. Durante los últimos 40 años, nuestra comprensión de las 3 variedades ha cambiado y alterado seriamente nuestra comprensión de las cosas. Para darle una idea de lo que es este entendimiento, comencemos con lo básico. Las 3 variedades son cosas que en escalas pequeñas se parecen al espacio euclidiano tridimensional "estándar". Entonces, las 3 variedades son una instancia del "problema de la tierra plana". Piense en la idea de que tal vez la tierra es como una hoja plana de papel que dura para siempre. Algunas personas (aparentemente) creyeron esto en algún momento. Y superficialmente, como idea, tiene algunas cosas a su favor. La evidencia de que la tierra no es plana requiere cierta acumulación.

De todos modos, las 3 variedades son el siguiente paso. Tal vez no todo el espacio es plano en algún sentido. Ese es un concepto complicado de entender, ya que el espacio no está "en" nada; básicamente, por definición, cualquier espacio que esté en lo llamaríamos espacio, ¿no? Extrañamente, no es tan simple. Un tipo llamado Gauss descubrió que hay una manera de dar sentido a que el espacio no es plano sin que el espacio se asiente en algo más grande. Lo que significa que la curvatura es algo relativo, no algo juzgado por algún estándar exterior absoluto. Esta idea fue una revelación y generó la idea de una variedad abstracta . Para resumir la noción, aquí hay un pequeño experimento mental.

Imagina un cohete con una cuerda atada a su cola, el otro extremo de la cuerda fijado a la tierra. El cohete despega y se aleja directamente de la tierra. Años más tarde, el cohete regresa desde alguna otra dirección, y agarramos ambos extremos sueltos de la cuerda y tiramos. Tiramos y tiramos, y pronto la cuerda está tensa. Y la cuerda no se mueve, está tensa. como si estuviera pegado a algo. Pero la cuerda no toca nada excepto tus manos. Por supuesto, no puede ver toda la cuerda a la vez, ya que la cuerda está trazando el camino (muy largo) del cohete. Pero si trepas por la cuerda, después de años puedes verificar: tiene una longitud finita, no toca nada excepto donde está clavada en la tierra. Y no se puede tirar.

Esto es lo que un topólogo podría llamar un agujero en el universo . Tenemos concepciones abstractas de este tipo de objetos ("agujeros en el universo") pero, por su naturaleza, no son muy fáciles de visualizar, tampoco imposibles, pero se necesita práctica y algo de entrenamiento.

En la década de 1970, gracias al trabajo de muchos matemáticos, comenzamos a comprender cómo esperábamos que fueran las 3 variedades. En particular, teníamos procedimientos para construirlos todos y una idea aproximada de cuántas variedades de ellos debería haber. La descripción conjetural de los mismos se denominó conjetura de geometrización . Fue una revelación en su día, ya que implicaba que muchas de nuestras nociones tradicionales de geometría del estudio de superficies en el espacio tridimensional se traducen en la descripción de todas las variedades tridimensionales. La conjetura de la geometrización fue probada recientemente en 2002.

El resultado de esta teoría es que, en cierto sentido, las variedades tridimensionales "cristalizan" y se separan de ciertas formas estándar. Esto obliga a cualquier tipo de dinámica en una variedad de 3 (como "mezclar pintura fuera de una prenda") para respetar esa cristalización.

Entonces, ¿cómo encuentro una prenda que no puedes darle la vuelta? Hago uno para que su exterior cristalice de una manera que entiendo. En particular, encuentro un complemento que no permite este tipo de vueltas. El hecho de que estas cosas existan es bastante delicado y cuesta trabajo verlo. Así que no es particularmente fácil explicar la prueba. Pero esa es la idea esencial.

Editar: para decir un poco más, hay una cierta forma en que esta "cristalización" puede ser extremadamente hermosa. Uno de los tipos más simples de cristalizaciones ocurre cuando se trata de una variedad hiperbólica de volumen finito.. Esto sucede con más frecuencia de lo que imaginas, y es la idea clave que funciona en el ejemplo de mi respuesta anterior. La descomposición en este caso es muy especial ya que hay algo llamado "descomposición de Epstein-Penner" que da una forma canónica de cortar el complemento en politopos convexos. Cosas como tetraedros, octaedros, icosaedros, etc., objetos muy estándar. Así que la comprensión de la dinámica de las "prendas" con frecuencia se convierte (es decir, el problema "se reduce a") en la comprensión de la geometría de los politopos convexos, el tipo de cosas con las que Euclides se sentía muy cómodo. En particular, existe un software llamado "SnapPea" que permite cálculos bastante sencillos de estas cosas.

_{(fuente: utk.edu )}

Imágenes tomadas de la página web de Morwen Thistlethwaite . Estas son imágenes de la noción estrechamente relacionada de un "dominio de Dirichlet".

Aquí hay una imagen del dominio de Dirichlet para el complemento de$8_{17}$, la idea clave en la construcción de mi post anterior.

Dominio de Dirichlet para el complemento de$8_{17}$

Técnicamente, esto en el modelo de Poincaré para el espacio hiperbólico, lo que le da la apariencia dentada/curvada.

EDITAR: Este artículo de 1993 de Christopher Zeeman analiza, entre otras cosas, el problema de dar la vuelta a un vestido. Los primeros párrafos de la página 101 dan una aplicación práctica de este tema, y ​​el material de la página 102 anticipa las respuestas que dimos Ryan y yo (por dos décadas...)

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La página de wikipedia para el toro tiene una muy buena animación de un toro perforado que se vuelve del revés. De la misma manera, si unes los dos puños de un pantalón, puedes darle la vuelta al resultado. Hay que sujetar los puños de la forma más sencilla, sin anudar, para conseguir un toro con un agujero, no una botella de Klein con un agujero.

Como dice Ryan, no es posible dar la vuelta a cada pieza de ropa, sin embargo, esas prendas "malas" deben anudarse de alguna manera. Aquí hay un ejemplo, quizás un poco más simple que el de Ryan, que evita la geometría hiperbólica :). Tome un par de pantalones, ate las piernas con un nudo simple y cosa los puños para obtener un toro perforado anudado. El nudo en este caso es un nudo de trébol .

Llamaré a esta prenda$S$. La prueba que sé que$S$no se puede dar la vuelta usa algunas ideas de la topología de baja dimensión. Observe que la curva de puntadas se comprime (limita un disco$D$) en la dirección interior. Si pudieras convertir$S$adentro hacia afuera entonces ese movimiento de$S$también daría un movimiento del disco$D$. Así, el movimiento envía la curva de puntadas a alguna curva en$S$(¡todavía no paralelo al límite!) que se comprime en la dirección exterior . Pero como el trébol no es el desanudado , no existe tal movimiento.

Al menos puedo responder la pregunta sobre la rasgadura y señalarle algunos términos para buscar. Lo que está viendo no es geometría como se entiende generalmente, sino topología (particularmente de superficies con límite ), que informalmente es el estudio de propiedades de cosas que son invariantes bajo deformación. A menudo se dice que un topólogo no puede distinguir una taza de café de una dona (es posible deformar una en la otra) y esta es la actitud que debe tomar ante preguntas de este tipo.

Desde esta perspectiva, una rasgadura es lo mismo que la parte inferior de la camisa es lo mismo que una manga: puedes deformar cada una de ellas en la otra, por lo que topológicamente son la misma cosa. (Imagine agrandar la rasgadura o aplastar una manga larga en una manga corta). Todos son solo ejemplos de lo que los topólogos llaman pinchazos.

No sé la respuesta a su pregunta general, pero una propiedad que debe tener una superficie para poder volverse del revés es que debe ser orientable ; en otras palabras, ¡debe tener un interior y un exterior para empezar! Las superficies como la cinta de Möbius no tienen esta propiedad, por lo que ni siquiera tiene sentido preguntarse si es posible darle la vuelta a esas cosas o no. (Y algunas superficies no orientables ni siquiera se pueden realizar en tres dimensiones...)

Las superficies orientables tienen una descripción particularmente simple: todas son topológicamente solo esferas con algunos mangos cosidos y con algunos pinchazos. Para darles la vuelta, es necesario al menos un pinchazo, y si puede dar la vuelta a una manija, presumiblemente puede darles la vuelta a todas. Si lo que dije en los comentarios es incorrecto y no puede girar las manijas al revés, entonces una condición necesaria y suficiente es que haya al menos un pinchazo y ninguna manija.

Una camisa sin agujeros, o con todos los agujeros sellados, es homeomorfa a una esfera.

Una camisa con agujeros es homeomorfa a una esfera con pinchazos.

Ahora ve intuitivamente que una esfera de goma con pinchazos puede girarse del revés mediante un movimiento continuo, mientras que una esfera perfecta no puede.

Para entender por qué, concentrémonos en el plano bidimensional, tomando un círculo en lugar de una esfera. Se puede probar que cualquier deformación continua que invierta el círculo hará que éste se cruce sobre sí mismo. Sin embargo, si el círculo tiene 'agujeros' o espacios, topológicamente es equivalente a uno o más segmentos de línea, que pueden invertirse en su lugar sin tocarse entre sí (puede ser necesario escalar apropiadamente).

Una característica similar también se aplica a una esfera. Por lo tanto, no puede darle la vuelta a una camisa si todos los agujeros están sellados, pero puede hacerlo incluso si tiene un agujero (y siempre que la camisa sea lo suficientemente flexible para pasar por ese agujero si el agujero es pequeño).